Mathematik verstehen 6, Schulbuch

83 4 . 5 Wachstum bei Beschränkung Wird ein Wachstumsprozess wie vorhin beschrieben, so spricht man von einem diskreten logistischen Wachstum . Diskret heißt es deshalb, weil n nur natürliche Werte annehmen kann. 4 . 81 In einem Tierreservat besteht die Population einer Tierart anfangs aus 10 Tieren. Man schätzt, dass in diesem Reservat nicht mehr als 1000 Tiere dieser Art leben können. Es ist N(n) die Anzahl der Tiere nach n Jahren. Berechne N(n) für n = 0, 1, 2, …, 10 unter der Annahme, dass logistisches Wachstum mit a) C = 0,001, b) C = 0,0015 vorliegt! Zeichne den Graphen der Funktion N! lösung zu a) : N(n + 1) = N(n) + 0,001 · N(n) · [1 000 – N(n)] N(0) = 10 N(1) = 10 + 0,001 · 10 · 990 = 19,90 N(2) = 19,90 + 0,001 · 19,90 · 980,10 ≈ 39,40 N(3) ≈ 39,40 + 0,001 · 39,40 · 960,60 ≈ 77,25 Setze selbst bis N(10) fort! auFgaben 4 . 82 Es sei N(n) die Einwohnerzahl einer Stadt nach n Jahren. Die Infrastruktur dieser Stadt ist auf nicht mehr als 15000 Einwohner angelegt. Berechne N(n) für n = 0, 1, 2, …, 10 unter der Annahme, dass logistisches Wachstum mit folgenden Werten vorliegt und zeichne den Graphen der Funktion N! a) N(0) = 1 000, C = 0,00005 c) N(0) = 5000, C = 0,00003 e) N(0) = 1 000, C = 0,00004 b) N(0) = 1 000, C = 0,00008 d) N(0) = 2500, C = 0,00003 f) N(0) = 250, C = 0,00007 4 . 83 Es sei A(n) der Flächeninhalt einer Bakterienkultur nach n Stunden und A(0) = 1mm 2 . Welchen Flächeninhalt würden die Bakterien einnehmen, wenn man 1) ungebremstes exponentielles Wachstum zugrunde legt und annimmt, dass sich der Flächen- inhalt stündlich um 20% vergrößert, 2) logistisches Wachstum mit C = 0,0004 und K = 500 zugrunde legt? 4 . 84 Betrachte einen logistischen Wachstumsprozess der Populationsgröße N mit K = 1 000 und N 0 = 10. Berechne N(n) für n = 1, 2, 3, …, 15 und zeichne den Graphen der Funktion N, wenn 1) C = 0,0010, 2) C = 0,0020, 3) C = 0,0025, 4) C = 0,0028 ist! Beschreibe jeweils das langfristige verhalten des Prozesses auch in Worten! Bemerkung: Der Vergleich der Graphen aus Aufgabe 4.84 zeigt, dass die Funktion N für K = 1 000 und N 0 = 10 ein unerwartetes verhalten aufweist. Schon kleine veränderungen des Proportionali- tätsfaktors C können ein völlig andersartiges langfristiges verhalten von N(n) bewirken. Man sagt: Die Funktion N weist für die Werte K = 1 000 und N 0 = 10 ein chaotisches Verhalten in Abhängigkeit vom Systemparameter C auf. 2 4 6 8 300 500 700 n N(n) 0 400 600 800 100 200 900 1000 1 3 5 7 9 10 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv