Mathematik verstehen 6, Schulbuch

82 4 eXponent ial - und logari thmusFunkt ionen 4 . 5 Wachstum bei Beschränkung grenzen des ungebremsten exponentiellen Wachstums 4 . 80 Im Jahre 2004 lebten ungefähr 6 Milliarden Menschen auf der Erde. Die Erdbevölkerung wächst annähernd exponentiell um ca. 2,2% jährlich. Wann wäre bei ungebremstem exponentiellen Wachstum die Bevölkerungszahl so groß, dass auf dem Festland der Erde (ca. 1,7 · 10 14 m 2 ) für jeden Menschen nur mehr so viel Platz ist wie für einen Besucher der Ostermesse auf dem Petersplatz in Rom (ca. 0,2m 2 )? lösung: Ist t die Anzahl der Jahre nach 2004, dann gilt: N(t) = 6 · 10 9 · 1,022 t . Stünden jedem Menschen auf dem Festland nur 0,2m 2 Platz zur verfügung, dann hätten dort insgesamt ca. 1,7 · 10 14 __ 0,2 = 8,5 · 10 14 Menschen Platz. Wir ermitteln also die Zeit t, für die gilt: N(t) = 8,5 · 10 14 6 · 10 9 · 1,022 t = 8,5 · 10 14 Aus dieser Gleichung folgt der Reihe nach: 1,022 t = 8,5 _ 6 · 10 5 w t · log 10 1,022 = log 10 2 8,5 _ 6 3 + log 10 (10 5 ) w t = log 10 2 8,5 _ 6 3 + 5 __ log 10 1,022 ≈ 545 Es hätte also bereits im Jahre 2549 jeder Mensch nur mehr 0,2m 2 Platz. Die Annahme eines ungebremsten exponentiellen Wachstums führt häufig zu unrealistischen Resultaten. Bevor es so weit kommt wie in der letzten Aufgabe, würden Ressourcenknappheit, Seuchen, Kriege uÄ das Wachstum bremsen. Das Wachstum der Erdbevölkerung kann nicht ungebremst exponentiell verlaufen. Im Folgenden erstellen wir dafür bessere Modelle. Diskretes logistisches Wachstum Eine Population wachse ungebremst nach dem Gesetz N(n) = N 0 · a n (mit N 0 > 0 und a > 1, n * ℕ *, n in Jahren). Wir berechnen die relative Änderung von N: N(n + 1) – N(n) ___ N(n) = N 0 · a n + 1 – N 0 · a n ___ N 0 · a n = N 0 · a n · (a – 1) __ N 0 ·a n = a – 1 Wir sehen: Bei ungebremstem exponentiellen Wachsen ist die jährliche relative Änderung kons- tant. Wenn es jedoch für eine Population eine größtmögliche Individuenanzahl K gibt, kann die jährliche relative Änderung nicht konstant sein, weil sonst N(n) früher oder später die Schranke K übersteigen würde. Es ist vielmehr sinnvoll anzunehmen, dass die jährliche relative Änderung umso kleiner wird, je näher die Populationsgröße N(n) an die Schranke K herankommt, dh. je kleiner die Differenz K – N(n) wird. Wir nehmen im Folgenden an, dass die relative Änderung im Zeitintervall [n; n + 1] direkt proportional zur Differenz K – N(n) ist: N(n + 1) – N(n) ___ N(n) = C · [K – N(n)], wobei der Proportionalitätsfaktor C eine für die jeweilige Population charakteristische Konstante ist. Daraus folgt: N(0) = N 0 und N(n + 1) = N(n) + c · N(n) · [K – N(n)] Eine solche Darstellung bezeichnet man als rekursive Darstellung . Mit Hilfe der Rekursions gleichung N(n + 1) = N(n) + C · N(n) · [K – N(n)] kann man jeweils aus N(n) den nächsten Wert N(n + 1) berechnen, wobei man von der Anfangsbedingung N(0) = N 0 ausgeht. L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv