Mathematik verstehen 6, Schulbuch

80 4 eXponent ial - und logari thmusFunkt ionen 4 . 4 logarithmusFunktionen logarithmusfunktionen und ihre graphen Definition Eine reelle Funktion f: ℝ + ¥ ℝ mit f(x) = c · log a x (mit c * ℝ *, a * ℝ + , a ≠ 1) heißt logarithmusfunktion. Beachte : Bei einer Logarithmusfunktion muss a ≠ 1 vorausgesetzt werden, weil log a x nur für a ≠ 1 definiert ist. Nachfolgend sind die Graphen einiger Logarithmusfunktionen f mit f(x) = log a x für verschiedene Werte von a dargestellt. Logarithmusfunktionen mit a > 1 Logarithmusfunktionen mit 0 < a < 1 Satz (eigenschaften von logarithmusfunktionen f mit f(x) = log a x) (1) f(1) = 0 , dh. alle Graphen gehen durch den Punkt (1 1 0) . (2) f ist streng monoton steigend , wenn a > 1 ist. f ist streng monoton fallend , wenn 0 < a < 1 ist. (3) Die 2. achse ist eine asymptote des Graphen von f. (4) Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = log a x und g(x) = log 1 _ a x sind symmetrisch bezüglich der x-achse. Beweis : Wir beweisen nur (1), (2) und (4). (1) f(1) = log a 1 = 0 (2) Eine Exponentialfunktion f: x ¦ a x mit a > 1 ist streng monoton steigend. Somit gilt: x 1 < x 2 w a log a x 1 < a log a x 2 w log a x 1 < log a x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) Eine Exponentialfunktion f: x ¦ a x mit 0 < a < 1 ist streng monoton fallend. Somit gilt: x 1 < x 2 w a log a x 1 < a log a x 2 w log a x 1 > log a x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) (4) 2 1 _ a 3 log 1 _ a x = x É log 1 _ a x · log a 2 1 _ a 3 = log a x É log 1 _ a x · (–1) = log a x É É log 1 _ a x = – log a x É g(x) = – f(x) c Für das Weitere sollte man sich vor allem die Graphen der Logarithmusfunktionen mit a > 1 gut einprägen, weil man sich damit die vorzeichen dieser Logarithmen gut merken kann. Merke: Für Logarithmen mit einer Basis a > 1 gilt: 0 < x < 1 w log a x < 0 x > 1 w log a x > 0 R Ó applet zk83ke kompakt Seite 86 log 10 x log 3 x log 2 x 1 2 3 – 1 1 – 2 – 3 x f(x) 0 log x log x log x 1 2 3 – 1 1 2 3 x f(x) 0 1 2 1 3 1 10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv