Mathematik verstehen 6, Schulbuch

76 4 eXponent ial - und logari thmusFunkt ionen Darstellung von exponentiellen Prozessen mit hilfe der euler’schen zahl Ein exponentieller Wachstums- oder Abnahmeprozess ist gegeben durch: N(t) = N 0 · a t In vielen Anwendungen nimmt man anstelle der Basis a die Euler’sche Zahl e als Basis und schreibt: Wachstumsprozess: Abnahmeprozess: N(t) = N 0 · e λ t N(t) = N 0 · e – λ t λ * R + heißt Wachstumskonstante . λ * R + heißt Abnahmekonstante , beim radio aktiven Zerfall auch Zerfallskonstante . Exponentieller Wachstumsprozess N(t) = N(0) · a t mit a > 1 N(t) = N(0) · e λ t mit λ > 0 Exponentieller Abnahmeprozess N(t) = N(0) · a t mit 0 < a < 1 N(t) = N(0) · e – λ t mit λ > 0 Wie hängen a und λ miteinander zusammen? Wachstumsprozess: N(0) · a t = N(0) · e λ t É a t = e λ t É a t = (e λ ) t É a = e λ abnahmeprozess : N(0) · a t = N(0) · e – λ t É a t = e – λ t É a t = (e – λ ) t É a = e – λ 4 . 58 Stelle a) das Wachstumsgesetz N(t) = 1 500 · 1,05 t , b) das Abnahmegesetz N(t) = 1 500 · 0,95 t mit Hilfe der Basis e dar! Ermittle dazu die Wachstums- bzw. Abnahmekonstante λ ! lösung: a) 1,05 = e λ w λ = ln1,05 ≈ 0,049 Somit gilt: N(t) ≈ 1 500 · e 0,049t b) 0,95 = e – λ w – λ = ln0,95 w λ = – ln0,95 ≈ 0,051 Somit gilt: N(t) ≈ 1 500 · e – 0,051t 4 . 59 Ein Wachstumsprozess verlaufe nach dem folgenden Wachstumsgesetz. Gib das Wachstums gesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Wachstumskonstante? a) N(t) = 800 · 1,25 t b) N(t) = 450 · 1,36 t c) N(t) = 180 · 1,05 t 4 . 60 Ein Abnahmeprozess verlaufe nach dem folgenden Abnahmegesetz. Gib das Abnahmegesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Abnahmekonstante? a) N(t) = 480 · 0,8 t b) N(t) = 540 · 0,36 t c) N(t) = 910 · 0,03 t 4 . 61 Ein radioaktiver Zerfall verlaufe nach dem folgenden Zerfallsgesetz. Gib das Zerfallsgesetz mit Hilfe der Zahl e an! Wie groß ist die Zerfallskonstante? a) N(t) = 10000 · 0,98 t b) N(t) = 15000 · 0,96 t c) N(t) = 20000 · 0,99 t 4 . 62 Eine Größe vermehrt sich nach dem angegebenen Wachstumsgesetz, wobei t in Jahren gemessen wird. Um wie viel Prozent nimmt die Größe jährlich zu? a) N(t) = 490 · e 0,18232 · t b) N(t) = 490 · e 0,09531 · t c) N(t) = 490 · e 0,04879 · t 4 . 63 Eine Größe vermindert sich nach dem angegebenen Abnahmegesetz, wobei t in Jahren gemessen wird. Um wie viel Prozent nimmt die Größe jährlich ab? a) N(t) = 200 · e – 0,16252 · t b) N(t) = 870 · e – 0,10536 · t c) N(t) = 1 000 · e – 0,051 29 · t R kompakt Seite 86 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv