Mathematik verstehen 6, Schulbuch

71 4 . 3 anwendungen von eXponent ialFunkt ionen ermittlung von zeiten 4 . 29 Eine Bakterienkultur wächst ungefähr um 15% pro Stunde. Wenn am Anfang 200000 Bakterien vorhanden sind, nach wie vielen Stunden sind es 500000? lösung: ƒƒ N(t) = 200000 · 1,1​5​ t ​ ƒƒ 500000 = 200000 · 1,1​5​ t ​ 2,5 = 1,1​5​ t ​ Wir logarithmieren beide Seiten, d. h. gehen auf beiden Seiten zum Zehnerlogarithmus über: lo​g​ 10 ​2,5 = t · lo​g​ 10 ​1,15 t = ​ lo​g​ 10 ​2,5 __ lo​g​ 10 ​1,15 ​≈ 6,6 Nach ca. 6,6 Stunden sind es 500000 Bakterien. auFgaben 4 . 30 Ein exponentieller Wachstumsprozess verläuft annähernd nach dem Wachstumsgesetz N(t) = 5 · 1,12 t . Zeichne den Graphen der Funktion N, die jedem Zeitpunkt t die Größe N(t) zuordnet! Ermittle sowohl grafisch als auch rechnerisch, für welchen Zeitpunkt gilt: a) N(t) = 6 b) N(t) = 6,5 c) N(t) = 7 d) N(t) = 7,5 4 . 31 Wie Aufgabe 4.30 für einen Abnahmeprozess mit dem Abnahmegesetz N(t) = 10 · 0,4 t . a) N(t) = 2 b) N(t) = 1,5 c) N(t) = 1 d) N(t) = 0,5 4 . 32 Wir nehmen an, dass sich ein Gerücht innerhalb eines gewissen Zeitraums annähernd exponentiell ausbreitet, wobei die Anzahl derjenigen, die vom Gerücht wissen, täglich um ca. a) 10%, b) 20%, c) 30% zunimmt. Wenn das Gerücht von einem Menschen ausgeht, nach ungefähr wie vielen Tagen werden es 1 000 Menschen gehört haben? 4 . 33 Der Inhalt der Fläche, die ein Bakterienstamm auf einer Nährlösung einnimmt, vermindert sich durch Zugabe eines Heilmittels stündlich um ca. 5%. Zu Beginn beträgt der Flächeninhalt 1 000mm 2 , nach t Stunden beträgt er A(t)mm 2 . Zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt t den Flächeninhalt A(t) zuordnet! Ermittle sowohl grafisch als auch rechnerisch, wann der Flächeninhalt a) 900mm 2 , b) 800mm 2 , c) 750mm 2 beträgt! 4 . 34 Die Bevölkerung einer Region ist von 2002 bis 2017 annähernd exponentiell gewachsen. Im Jahr 2002 hatte die Region 82000 Einwohner, im Jahr 2017 hatte sie 105000 Einwohner. Wir gehen von der Annahme aus, dass das Wachstum noch einige Jahre so weitergehen wird. a) Wie viele Einwohner wird die die Region im Jahr 2022 haben? b) Wann wird die Region 150000 Einwohner erreicht haben? hinweis : Zähle die Jahre von 2002 an, dh. t = 0 entspricht dem Beginn des Jahres 2002! 4 . 35 Wegen mangelnder Beschäftigung beginnen Menschen aus einer ländlichen Gegend abzu­ wandern. Nach zwei Jahren leben in dieser Gegend noch 5500 Menschen, nach fünf Jahren nur mehr 4600 Menschen. Wir nehmen exponentielle Bevölkerungsabnahme an. 1) Wie viele Menschen lebten ursprünglich in dieser Gegend? 2) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben? Wie groß ist die jährliche prozentuelle Abnahme? 3) Wie viele Menschen werden voraussichtlich nach 10 Jahren in dieser Gegend leben, wenn man lineare Abnahme annimmt? Wie groß ist die jährliche Abnahme? R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv