Mathematik verstehen 6, Schulbuch

7 1 .1 Potenzen mt eXponenten aus N * rechenregeln für Potenzen mit exponenten aus ℕ * Satz 1 (rechenregeln für Potenzen mit gleicher Basis) Für alle a * ℝ und alle m, n * ℕ * gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m _ a n = a m – n (für a ≠ 0 und m > n) (3) (a m ) n = a m· n Beweis : (1) a m · a n = a · a ·…· a · a · a ·…· a = a · a ·…· a = a m + n 122222222232222222225 122222222322222222225 122222222223222222225 m Faktoren n Faktoren (m + n) Faktoren m Faktoren 62222222822222220 (2) a m _ a n = a · a ·…· a __ a · a ·…· a = a · a ·…· a 12222222232222225 122222222232222222225 n Faktoren (m – n) Faktoren (3) (a m ) n = a m · a m ·…· a m = (a · a ·…· a) · (a · a ·…· a) ·…· (a · a ·…· a) = a m · n 1222222222222322222222222225 122222222222222222222222222222222222223222222222222222222222222222222222222222225 n Potenzen n Klammern zu je m Faktoren c in Worten: (1) und (2) Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert (dividiert), indem man die Basis unverändert lässt und die Exponenten addiert (subtrahiert). (3) Eine Potenz wird potenziert, indem man die Basis mit dem Produkt der Exponenten potenziert. Satz 2 (rechenregeln für Potenzen mit gleichem exponenten) Für alle a, b * ℝ und alle n * ℕ * gilt: (1) (a · b) n = a n · b n (2) 2 a _ b 3 n = a n _ b n (für b ≠ 0) Beweis : (1) (a · b) n = (a · b) · (a · b) ·…· (a · b) = (a · a ·…· a) · (b · b ·…· b) = a n · b n  12222222222222222222232222222222222222222225 12222222222322222222225 12222222222322222222225 n Klammern n Faktoren n Faktoren (2) 2 a _ b 3 n = a _ b · a _ b ·…· a _ b = a · a ·…· a __ b · b ·…· b = a n _ b n  122222222232222222225 n Faktoren in Worten von links nach rechts gelesen: (1) Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert. (2) Ein Quotient wird potenziert, indem man Zähler und Nenner potenziert. in Worten von rechts nach links gelesen: (1) Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man die Basen miteinander multipliziert und den Exponenten unverändert lässt. (2) Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man die Basen dividiert und den Exponenten unverändert lässt. 1 . 01 Zeige: Ist a * R und n * N *, dann gilt: 1) (– a) n = a n , falls n gerade 2) (– a) n = – a n , falls n ungerade lösung: (– a) n = (– a) · (–a) ·…· (–a) 12222222222222222322222222222222225 n Klammern Da zwei benachbarte Minuszeichen einander aufheben, folgt: 1) Ist n gerade, dann ist (– a) n = a n . 2) Ist n ungerade, dann ist (– a) n = – a n . R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv