Mathematik verstehen 6, Schulbuch

67 4 . 2 eigenschaFten von eXponent ialFunkt ionen Beweis : (1) f(x + 1) = c · a x + 1 = c · a x · a = f(x) · a (2) f(x + h) = c · a x + h = c · a x · a h = f(x) · a h (3) Setzen wir a = 1 ± p _ 100 , dann geht die Formel f(x + 1) = f(x) · a über in f(x + 1) = f(x) · 2 1 ± p _ 100 3 . Dies bedeutet eine Erhöhung (verminderung) von f(x) um p%. (4) Setzen wir a h = 1 ± p h _ 100 , dann geht die Formel f(x + h) = f(x) · a h über in f(x + h) = f(x) · 2 1 ± p h _ 100 3 . Dies bedeutet eine Erhöhung (verminderung) von f(x) um p h %. c Die im Satz angeführten Aussagen drücken eine charakteristische Eigenschaft eines exponentiellen Wachsens bzw. Abnehmens aus: Merke exponentielles Wachsen bzw. abnehmen bedeutet: gleiche zunahme der argumente bewirkt stets zu- bzw. abnahme der Funktionswerte mit dem gleichen Faktor bzw. um den gleichen Prozentsatz vom Ausgangswert. Was geben die zahlen c und a an? Aus den bisherigen Sätzen ergeben sich folgende Deutungen von c und a: Merke Für eine Exponentialfunktion f mit f(x) = c · a x (c * ℝ *, a * ℝ + ) gilt: (1) c = f(0) = Funktionswert von f an der Stelle 0. (2) a = Faktor, mit dem f(x) multipliziert wird, wenn x um 1 erhöht wird. auFgaben 4 . 09 Gegeben ist die streng monoton steigende Exponentialfunktion f mit f(x) = 5 · 1,05 x . a) Wie groß ist f(0)? b) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f(x) zu, wenn x um 1 erhöht wird? c) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f(x) zu, wenn x um 3 erhöht wird? lösung: a) f(0) = 5 b) Mit dem Faktor 1,05 bzw. um 5%. c) Mit dem Faktor 1,05 3 ≈ 1,158 bzw. um ca. 15,8%. 4 .10 Gegeben ist die streng monoton fallende Exponentialfunktion f mit f(x) = 7 · 0,96 x . a) Interpretiere die Zahl 7 in der Funktionsgleichung! b) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f(x) ab, wenn x um 1 erhöht wird? c) Mit welchem Faktor bzw. um wie viel % nimmt f(x) ab, wenn x um 10 erhöht wird? lösung: a) 7 = f(0) b) Mit dem Faktor 0,96 bzw. um 4%. c) Mit dem Faktor 0,96 10 ≈ 0,665 bzw. um ca. 33,5%. 4 .11 Mit welchem Faktor wächst bzw. fällt f(x), wenn x um 1 erhöht wird? Um wie viel Prozent nimmt f(x) dabei zu bzw. ab? a) f(x) = 2 x b) f(x) = 10 · 1,5 x c) f(x) = 0,5 x d) f(x) = 100 · 0,85 x 4 .12 Mit welchem Faktor wächst bzw. fällt f(x), wenn x um 5 erhöht wird? Um wie viel Prozent nimmt f(x) dabei zu bzw. ab? a) f(x) = 3 x b) f(x) = 0,5 · 1,1 x c) f(x) = 0,6 x d) f(x) = 14 · 0,95 x R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv