Mathematik verstehen 6, Schulbuch

64 4 eXponent ial - und logari thmusFunkt ionen Die Funktionen in den letzten beiden Aufgaben waren beide von der Form f(x) = c · a x mit c * ℝ * und a * ℝ + . Definition Eine reelle Funktion f: a ¥ R mit f(x) = c · a x (c * ℝ *, a * ℝ + ) heißt exponentialfunktion mit der Basis a. Bemerkung: Bei einer Exponentialfunktion muss a > 0 vorausgesetzt werden, weil die Potenz a x für a ª 0 nicht immer definiert ist. ZB ist (–1) 0,5 = 9 __ –1oder 0 0 nicht definiert. Satz (eigenschaften einer exponentialfunktionen f mit f(x) = a x ) (1) Alle Funktionswerte sind positiv. (2) f(0) = 1, dh. der Graph geht durch den Punkt (0 i 1) . (3) Die Funktion f ist – streng monoton steigend für a > 1 – streng monoton fallend für 0 < a < 1 – konstant für a = 1 (4) Für a ≠ 1 ist die x-achse eine asymptote des Graphen von f. (5) Die Graphen der Funktionen f und g mit f(x) = a x und g(x) = 2 1 _ a 3 x liegen symmetrisch bezüglich der 2. achse . Beweis : (1) folgt aus den Definitionen von a x mit a * ℝ + . (2) f(0) = a 0 = 1 (3) Für a > 1 gilt: x 1 < x 2 w x 2 – x 1 > 0 w a x 2 – x 1 > 1 w a x 2 _ a x 1 > 1 w a x 1 < a x 2 w f(x 1 ) < f(x 2 ) Für 0 < a < 1 gilt: x 1 < x 2 w x 2 – x 1 > 0 w a x 2 – x 1 < 1 w a x 2 _ a x 1 < 1 w a x 1 > a x 2 w f(x 1 ) > f(x 2 ) Für a = 1 gilt: f(x) = 1 x = 1 (4) Für a > 1 ist f streng monoton steigend und für genügend kleines x ist a x kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ε , denn es gilt: a x < ε É x · log 10 a < log 10 ε É x < log 10 ε _ log 10 a Für 0 < a < 1 ist f streng monoton fallend und für genügend großes x ist a x kleiner als jede noch so kleine positive Zahl ε , denn es gilt: a x < ε É x · log 10 a < log 10 ε É x > log 10 ε _ log 10 a (5) Für alle x * ℝ gilt: f(x) = a x = 2 1 _ a 3 – x = g(– x) c Für Exponentialfunktionen f mit f(x) = c · a x , g(x) = c · 2 1 _ a 3 x und c > 0 gelten dieselben Eigenschaften, nur muss (2) ersetzt werden durch: (2’) f(0) = c, dh. der Graph geht durch den Punkt (0 1 c) . Die Beweise können analog geführt werden. Ó applet fw4u8t ( ) 1 2 x ( ) 1 3 x ( ) 1 4 x 1 x 4 x 3 x 2 x – 1 1 0 10 5 x f(x) 12222322225 > 0 12222322225 < 0 Ó lernapplet 2x2r7c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv