Mathematik verstehen 6, Schulbuch

63 4 .1 eXponent ialFunkt ionen Somit erhalten wir: A(0) = 1 000 A(1) = A(0) · 1,45 = 1 000 · 1,45 = 1 450 A(2) = A(1) · 1,45 = (1 000 · 1,45) · 1,45 = 1 000 · 1,45 2 ≈ 2100 A(3) = A(2) · 1,45 = (1 000 · 1,45 2 ) · 1,45 = 1 000 · 1,45 3 ≈ 3050 A(4) = A(3) · 1,45 = (1 000 · 1,45 3 ) · 1,45 = 1 000 · 1,45 4 ≈ 4420 A(5) = A(4) · 1,45 = (1 000 · 1,45 4 ) · 1,45 = 1 000 · 1,45 5 ≈ 6410 A(n) = 1 000 · 1,45 n 2) Der Graph der Funktion A mit A(n) = 1 000 · 1,45 n ist neben stehend dargestellt. In der letzten Aufgabe haben wir die Formel A(n) = 1 000 · 1,45 n nur für natürliche n hergeleitet. Wie verläuft der Graph von A aber zwischen den vollen Stunden? Die Beobachtung zeigt, dass das Zellwachstum ein Prozess ist, der kontinuierlich ohne Stillstände und abrupte Änderungen vor sich geht. Ein solcher Prozess wird am besten beschrieben, wenn man die Annahme trifft, dass A(t) = 1 000 · 1,45 t für beliebige t * ℝ 0 + gilt. Damit liegt folgende Funktion vor: A: ℝ 0 + ¥ ℝ ‡ t ¦ 1 000 · 1,45 t Der Graph dieser Funktion ist nebenstehend dargestellt. Das Wachstum der Bakterien kann allerdings nicht unbeschränkt erfolgen, weil den Bakterien früher oder später der Nährboden ausgeht. Die Formel A(t) = 1 000 · 1,45 t gilt also nur bis zu einer gewissen Schranke K, die von den jeweiligen Laborbedingungen abhängt. Mit dieser Einschränkung liegt folgende Funktion vor: A: [0; K] ¥ R ‡ t ¦ 1 000 · 1,45 t 4 . 02 Die Bakterienkultur ist bereits 7000mm 2 groß. Man stellt fest, dass durch Zugabe eines Anti biotikums die Bakterien absterben, wobei die Fläche in jeder Stunde um etwa 35% kleiner wird. Es sei A(n) der Inhalt dieser Fläche nach n Stunden. 1) Berechne A(n) für n = 0, 1, 2, 3, 4, 5 und stelle eine Formel für A(n) auf! 2) Schreibe eine Formel für A(t) mit t * R 0 + auf und zeichne den Graphen der Funktion A, die jedem Zeitpunkt t den Flächeninhalt A(t) der Bakterienkultur zuordnet! lösung: 1) Wird eine Größe G um 35% vermindert, so gilt: G – 35% von G = 65% von G = 65 _ 100 · G = 0,65 · G Wir erhalten: A(0) = 7000 A(1) = A(0) · 0,65 = 7000 · 0,65 = 4550 A(2) = A(1) · 0,65 = (7000 · 0,65) · 0,65 = 7000 · 0,65 2 ≈ 2960 A(3) = A(2) · 0,65 = (7000 · 0,65 2 ) · 0,65 = 7000 · 0,65 3 ≈ 1 920 A(4) = A(3) · 0,65 = (7000 · 0,65 3 ) · 0,65 = 7000 · 0,65 4 ≈ 1 250 A(5) = A(4) · 0,65 = (7000 · 0,65 4 ) · 0,65 = 7000 · 0,65 5 ≈ 810 A(n) = 7000 · 0,65 n 2) A(t) = 7000 · 0,65 t Es liegt folgende Funktion vor: A: R 0 + ¥ R ‡ t ¦ 7000 · 0,65 t Der Graph dieser Funktion ist nebenstehend dargestellt. 1 2 3 4 5 1000 2000 3000 4000 5000 n 7000 6000 A(n) 0 1 2 3 4 5 1000 2000 3000 4000 5000 t 7000 6000 A(t) 0 1 2 3 4 5 t A(t) 0 6 7 8 1000 2000 3000 4000 5000 7000 6000 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv