Mathematik verstehen 6, Schulbuch

52 3 reelle Funkt ionen Polynomfunktionen vom grad n Definition Eine reelle Funktion f mit f(x) = a n x n + a n – 1 x n – 1 + … + a 1 x + a 0 (wobei a n , a n – 1 , …, a 0 * ℝ und a n ≠ 0) heißt Polynomfunktion vom grad n . Beispiele : 1) Die Funktion f mit f(x) = 4x 2 – 3x + 1 ist eine Polynomfunktion vom Grad 2. 2) Die Funktion f mit f(x) = 0,5x 3 + 2x 2 + x ist eine Polynomfunktion vom Grad 3. 3) Die Funktion f mit f(x) = 6x 5 – x 3 + x 2 – 8 ist eine Polynomfunktion vom Grad 5. spezialfälle: Eine konstante Funktion f mit f(x) = a 0 und a 0 ≠ 0 ist eine Polynomfunktion vom Grad 0. Eine lineare Funktion f mit f(x) = k · x + d und k ≠ 0 ist eine Polynomfunktion vom Grad 1. Eine Potenzfunktion f mit f(x) = x n und n * ℕ * ist eine Polynomfunktion vom Grad n. typische Formen der graphen von Polynomfunktionen Polynomfunktionen vom grad 2: Die Graphen sind stets Parabeln. Abb. 3.3a Abb. 3.3b Polynomfunktionen vom grad 3: Die Graphen haben im Allgemeinen die Gestalt einer S-Kurve (Abb. 3.4a, b), doch sind „Entartungen“ möglich, bei denen diese Gestalt nicht mehr so deutlich zu sehen ist (Abb. 3.4 c,d). Abb. 3.4a Abb. 3.4b Abb. 3.4 c Abb. 3.4d Polynomfunktionen vom grad 4: Die Graphen haben im Allgemeinen die Gestalt einer Doppel-S-Kurve (Abb. 3.5a, b), doch sind auch hier „Entartungen“ möglich, bei denen diese Ge- stalt nicht mehr so deutlich (Abb. 3.5 c, d) oder gar nicht mehr (Abb. 3.5e, f) zu sehen ist. Abb. 3.5a Abb. 3.5b Abb. 3.5 c Abb. 3.5d Abb. 3.5e Abb. 3.5 f satz Der Graph einer Polynomfunktion f ist symmetrisch bezüglich der 2. achse , wenn alle auftretenden exponenten gerade sind, symmetrisch bezüglich des Ursprungs , wenn alle auftretenden exponenten ungerade sind. Beweis : Im ersten Fall ist f(– x) = f(x), im zweiten Fall ist f(– x) = – f(x) für alle x * R . c R R 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. 2. A. 1. A. Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv