Mathematik verstehen 6, Schulbuch

50 3 reelle Funkt ionen Potenzfunktionen mit exponenten m _ n * ℚ \ ℤ : f(x) = x m _ n , m _ n > 0 f(x) = x m _ n , m _ n < 0 größtmöglicher Definitionsbereich: R 0 + größtmöglicher Definitionsbereich: R + streng monoton steigend in R 0 + streng monoton fallend in R + alle Graphen gehen durch (1 1 1) alle Graphen gehen durch (1 1 1) In dem folgenden Satz sind einige Eigenschaften für Potenzfunktionen mit Exponenten aus ℕ * angeführt. Die Beweise findet man im Anhang auf Seite 283. satz (eigenschaften von Potenzfunktionen mit exponenten aus ℕ *) (1) Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). Für gerades n gehen alle Graphen durch (–1 1 1), für ungerades n durch (–1 1 –1). (2) f ist in R 0 + streng monoton steigend. (3) f ist in R 0 – streng monoton fallend, falls n gerade ist, und streng monoton steigend, falls n un- gerade ist. satz Der Graph einer Potenzfunktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x n (n * ℕ *) ist symmetrisch bezüglich der 2. Achse, wenn n gerade ist, symmetrisch bezüglich des Ursprungs, wenn n ungerade ist. Beweis : Für gerades n und alle x * ℝ gilt: f(– x) = (– x) n = x n = f(x) Für ungerades n und alle x * ℝ gilt: f(– x) = (– x) n = – x n = – f(x) c Funktionen mit solchen Symmetrieeigenschaften haben eigene Namen: Definition Eine reelle Funktion f: A ¥ ℝ heißt gerade , wenn für alle x * A gilt: f(– x) = f(x) ungerade , wenn für alle x * A gilt: f(– x) = – f(x) Demgemäß ist eine Potenzfunktion f mit f(x) = x n (n * ℕ *) gerade, wenn n gerade ist, und ungerade, wenn n ungerade ist. Wurzelfunktionen Wurzelfunktionen sind spezielle Potenzfunktionen von der Form f: ℝ 0 + ¥ ℝ 0 + mit f(x) = n 9 _ x= x 1 _ n (n * ℕ *). Diese Funktionen sind streng monoton steigend in ℝ 0 + . Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x f(x) x 3 2 x 5 2 x 1 2 1 2 3 4 1 2 3 4 5 x x 3 2 f(x) x 5 2 x – – – 1 2 f x gerade ungerade – x f x – x Ó applet wp58hq 1 0 2 3 4 1 2 x f(x) 4 3 √x √x √x Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv