Mathematik verstehen 6, Schulbuch

47 3 .1 Monotonie und eXtremstellen von Funkt ionen lokale extremstellen In der Abbildung ist eine Funktion f dargestellt, die nur im Intervall [0; 6] definiert ist. Wir stellen fest: Die Stelle 0 ist eine globale Maximumstelle von f. Die Stelle 6 ist eine globale Minimumstelle von f. Die Stelle 2 ist keine globale Minimumstelle von f, weil es im Definitionsbereich von f kleinere Funktionswerte gibt. Sie ist aber eine Minimumstelle von f in einer gewissen „Umgebung“ der Stelle 2, etwa in [1; 3]. Die Stelle 4 ist keine globale Maximumstelle von f, weil es im Definitionsbereich von f größere Funktionswerte gibt. Sie ist aber eine Maximumstelle von f in einer gewissen „Umgebung“ der Stelle 4, etwa in [3; 5]. Eine Extremstelle p einer Funktion f: A ¥ ℝ , die nur Extremstelle in einer gewissen Umgebung von p ist, nennt man im Unterschied zu einer globalen Extremstelle von f eine lokale Extrem- stelle von f . Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion. Eine Stelle p * A heißt lokale Maximumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Maximumstelle von f in U(p) ist, lokale Minimumstelle von f , wenn es eine Umgebung U(p) a A gibt, sodass p Minimumstelle von f in U(p) ist, lokale extremstelle von f , wenn sie eine lokale Maximum- oder Minimumstelle von f ist. Beachte : Ist A ein Intervall der Form [a; b], (a; b], [a; b) oder (a; b), dann bezeichnet man die Stellen a und b als randstellen von a und alle Stellen x mit a < x < b als innere stellen von a . (Analoges gilt, wenn A eine vereinigung von Intervallen der genannten Formen ist.) Unter einer Umgebung U(p) einer Stelle p verstehen wir in diesem Buch ein beliebiges intervall , für welches p eine innere stelle ist. Die Umgebung U(p) erstreckt sich also sowohl nach links als auch nach rechts von p, muss aber nicht symmetrisch um p liegen. Ist p eine lokale Extremstelle einer Funktion f, dann muss nach der obigen Definition die Umgebung U(p) ganz im Definitionsbereich A von f liegen. Somit gilt nach dieser Definition: eine randstelle des Definitionsbereichs a von f kann keine lokale extremstelle von f sein (wohl aber unter Umständen eine globale Extremstelle von f). R 0 1 2 1 2 3 4 5 6 3 4 5 f f(x) x kompakt seite 58 U(p) p Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv