Mathematik verstehen 6, Schulbuch

46 3 reelle Funkt ionen globale extremstellen quadratischer Funktionen Wir erinnern uns (siehe Mathematik verstehen 5, S. 156/157): Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f(x) = ax 2 + bx + c ist eine Parabel mit dem Scheitel S = 2 – b _ 2a 1 f 2 – b _ 2a 3 3 . Die Parabel ist nach oben offen, wenn a > 0 ist, und nach unten offen, wenn a < 0 ist. Der Graph einer quadratischen Funktion f mit f(x) = x 2 + px + q ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = 2 – p _ 2 1 f 2 – p _ 2 3 3 . Sofern f zwei Nullstellen x 1 und x 2 besitzt, ist die erste Koordinate des Scheitels der Mittelwert der beiden Nullstellen, also S = 2 x 1 + x 2 _ 2 1 f 2 x 1 + x 2 _ 2 3 3 . Daraus folgt: Die erste Koordinate des Scheitels ist eine globale Extremstelle von f. 3 .13 Ermittle ohne Technologieeinsatz die globalen Extremstellen der quadratischen Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = x 2 – 6x + 8! 1 . lösungsMögl ichkei t : Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel mit dem Scheitel S = (3 1 –1). Rechne nach! Somit ist 3 die einzige globale Minimumstelle von f. 2 . lösungsMögl ichkei t : Der Graph von f ist eine nach oben offene Parabel. Die Gleichung x 2 – 6x + 8 = 0 hat die Lösungen 2 und 4. Rechne nach! Somit hat f die Nullstellen 2 und 4. Die erste Koordinate des Scheitels ist der Mittelwert der beiden Nullstellen 2 und 4, also 3. Somit ist 3 die einzige globale Minimumstelle von f. 3 .14 Wird ein Körper mit der Abschussgeschwindigkeit v 0 vom Erdboden senkrecht nach oben geworfen, so ist seine höhe h (in Meter) nach t Sekunden durch h(t) = v 0 t – g _ 2 t 2 gegeben. Dabei ist g ≈ 10m/s 2 die Erdbeschleunigung. Für die Abschussgeschwindigkeit v 0 = 30m/s gilt somit näherungsweise: h(t) = 30t – 5t 2 . 1) Nach welcher Zeit schlägt der Körper wieder auf dem Boden auf? 2) Zeichne den Graphen der Funktion h: t ¦ h(t)! 3) Nach welcher Zeit erreicht der Körper seine größte höhe? Wie groß ist diese? lösung: 1) Der Körper befindet sich auf dem Boden, wenn h(t) = 0 ist. h(t) = 0 É 30t – 5t 2 = 0 É 5t(6 – t) = 0 É t = 0 = t = 6 Der Zeitpunkt t = 0 entspricht dem Abschuss, der Zeitpunkt t = 6 dem Aufschlag des Körpers. Der Körper schlägt also nach 6 s wieder auf dem Boden auf. 2) Der Graph von h ist rechts dargestellt. 3) Der Graph von h ist eine nach unten offene Parabel mit dem Scheitel S = 2 0 + 6 _ 2 1 h 2 0 + 6 _ 2 3 3 = (3 1 h(3)) = (3 1 45). Somit erreicht der Körper nach 3 s seine größte höhe. Diese beträgt 45m. aufgaben 3 .15 Wie Aufgabe 3.14 für a) v 0 = 15m/s, b) v 0 = 40m/s. R Ó applet 37zk7i t h(t) h 10 20 30 40 0 1 2 3 4 5 6 50 R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv