Mathematik verstehen 6, Schulbuch

45 3 .1 Monotonie und eXtremstellen von Funkt ionen globale extremstellen Bei der Untersuchung einer Funktion interessiert man sich oft für jene Stellen, an denen die Funktion den größten bzw. kleinsten Wert annimmt. Beispiel : Die nebenstehend dargestellte Funktion f nimmt im Intervall [1; 6] an den Stellen 2 und 6 ihren größten Wert und an der Stelle 4 ihren kleinsten Wert an. Man bezeichnet die Stellen 2 und 6 als Maximumstellen von f in [1; 6] und die Stelle 4 als Minimumstelle von f in [1; 6] . Allgemein sind diese Stellen folgendermaßen definiert: Definition Sei f: A ¥ ℝ eine reelle Funktion und M a A. Eine Stelle p * M heißt Maximumstelle von f in M , wenn f(x) ª f(p) für alle x * M, Minimumstelle von f in M , wenn f(x) º f(p) für alle x * M. Eine Stelle p * M heißt extremstelle von f in M , wenn sie eine Maximum- oder Minimumstelle von f in M ist. Definition Eine extremstelle von f im gesamten Definitionsbereich von f bezeichnet man kurz als globale extremstelle von f . Beachte : Eine Funktion f muss keine globale Extremstelle besitzen. aufgaben 3 .11 Die dargestellte Funktion f ist im Intervall [‒ 4; 4] definiert. Gib alle Maximum- und Minimum stellen von f in diesem Intervall an! a) b) 3 .12 Gegeben sind die Funktionen: f 1 : ℝ ¥ ℝ † x ¦ 2, f 2 : ℝ ¥ ℝ † x ¦ 2x und f 3 : ℝ ¥ ℝ † x ¦ x 2 . Kreuze die beiden zutreffenden Aussagen an! f 1 besitzt mindestens eine globale Extremstelle. c f 2 besitzt eine globale Maximumstelle. c f 2 besitzt eine globale Minimumstelle. c f 3 besitzt eine globale Maximumstelle. c f 3 besitzt eine globale Minimumstelle. c R x f(x) 0 1 2 3 4 5 1 2 3 4 f 6 R Ó lernapplet j7x2wj x f(x) 1 2 3 4 5 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 0 f x f(x) 1 2 3 4 5 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 – 3 – 2 – 1 0 f Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv