Mathematik verstehen 6, Schulbuch

44 3 reelle Funkt ionen 3 . 03 Es sei a < b < c < d. Zeichne den Graphen einer Funktion, die a) in [a; b] streng monoton fallend, in [b; c] streng monoton steigend und in [c; d] streng monoton fallend ist, b) in [a; b] streng monoton steigend, in [b; c] streng monoton fallend und in [c; d] streng monoton steigend ist, c) in [a; b] streng monoton steigend, in [b; c] monoton steigend und in [c; d] streng monoton fallend ist, d) in [a; b] monoton steigend, in [b; c] streng monoton fallend und in [c; d] monoton steigend ist, e) in [a; b] streng monoton fallend, in [b; c] konstant und in [c; d] wieder streng monoton fallend ist! 3 . 04 Gibt es eine Funktion f: ℝ ¥ ℝ , die gleichzeitig monoton steigend und monoton fallend ist? Wenn ja, gib eine an! 3 . 05 Beweise: Ist f streng monoton steigend in M, dann gilt für alle x, y * M: a) f(x) ª f(y) w x ª y b) f(x) < f(y) w x < y lösung zu a) : Sei f(x) ª f(y). Wäre x > y, dann wäre wegen des strengen monotonen Steigens von f auch f(x) > f(y), im Widerspruch zur voraussetzung f(x) ª f(y). Also gilt x ª y. c 3 . 06 Beweise: Ist f streng monoton fallend in M, dann gilt für alle x, y * M: a) f(x) º f(y) w x ª y b) f(x) > f(y) w x < y 3 . 07 Was kann über das Monotonieverhalten einer Funktion f im Intervall [– 4; 5] ausgesagt werden, wenn f(– 3) = –7, f (0) = – 2 und f(3) = – 5 ist? Begründe die Antwort! lösung: Die Funktion f kann in [– 4; 5] nicht monoton steigend sein, denn es ist 0 < 3, aber f(0) > f(3). Die Funktion f kann in [–4; 5] auch nicht monoton fallend sein, denn es ist –3 < 0, aber f(–3) < f(0). Die Funktion f ist also in [– 4; 5] nicht monoton. 3 . 08 Was kann über das Monotonieverhalten einer Funktion f im Intervall [0; 5] ausgesagt werden, wenn folgende Funktionswerte gegeben sind? Begründe die Antwort! a) f(1) = 3, f(4) = 2 d) f(2) = 1, f(3) = 6, f(4) = 9 g) f(x) = 5 für alle x * [0; 5] b) f(0) = 7, f(5) = –7 e) f(3) = 1, f(4) = 5, f(5) = –1 h) f(x) < f(5) für alle x * [0; 5] c) f(3) = f(4) = 3 f) f(1) = 8, f(2) = – 3, f(5) = 10 i) f(x) º f(5) für alle x * [0; 5] 3 . 09 Zeichne den Graphen der Funktion f: ℝ ¥ ℝ mit f(x) = 3 – (​x – 1)​ 2 ​und kreuze die Aussagen an, die auf diese Funktion zutreffen! f ist monoton in ℝ . c f ist streng monoton fallend in ​ ℝ ​ 0 ​ + ​. c f ist streng monoton steigend in [–1; 1]. c f ist streng monoton fallend in [1; • ). c An der Stelle 1 ändert sich das Monotonieverhalten von f. c 3 .10 Der Graph einer Funktion f geht durch die Punkte (0 1 0) und (5 1 5). Karla behauptet, dass f streng monoton steigend sein muss. Stimmt das? Begründe oder widerlege durch einen passenden Graphen! Nur zu Prüfzwecken – Ei entum des Verlags öbv