Mathematik verstehen 6, Schulbuch

41 Kompetenzcheck AUFgABeN voM tYP 2 2 . 48 Die Bernoulli-Ungleichung Die folgende Ungleichung geht auf den Mathematiker Jakob Bernoulli (1655–1705) zurück. Bernoulli-Ungleichung Für alle x * ℝ mit x º –1 und alle n * ℕ * gilt: (1 + x) n º 1 + n · x a) Zeige: Die Bernoulli-Ungleichung gilt für n = 1 und n = 2! Stelle die Bernoulli-Ungleichung für n = 2grafisch dar! b) Aus der Gültigkeit der Bernoulli-Ungleichung für n = 2 kann man in folgender Weise auf die Gültigkeit für n = 3 schließen: (1 + x) 3 = (1 + x) 2 · (1 + x) º (1 + 2x) · (1 + x) = … Setze selbst fort! Zeige allgemein: Gilt die Bernoulli-Ungleichung für ein n * ℕ *, dann gilt sie auch für den Nachfolger n + 1. c) In der nebenstehenden Abbildung ist die Bernoulli-Ungleichung für ein n * ℕ * grafisch dargestellt. Ermittle dieses n und schreibe die entsprechende Bernoulli-Ungleichung an! n = ____________________ Ungleichung: ____________________ Zeige, dass für alle x * ℝ 0 + mit x º –1 und alle n * ℕ * gilt: n 9 _____ 1 + n · xª 1 + x Ag-r 2 . 4 FA-r 1 . 2 Jakob Bernoulli (1655 –1705) 1. A. 2. A. 1 2 3 4 5 6 – 2 – 1 1 2 3 4 5 6 7 8 – 1 0 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv