Mathematik verstehen 6, Schulbuch

36 2 Ungleichungen Quadratische Ungleichungen 2 . 29 Für welche x * ℝ gilt: a) ​x​ 2 ​– 5x + 6 > 0 b) ​x​ 2 ​– 5x + 4 < 0 lösung: a) Die quadratische Gleichung x​ ​ 2 ​– 5x + 6 = 0 hat die Lösungen 2 und 3. Rechne nach! Somit kann die gegebene Ungleichung nach dem Satz von Vieta so geschrieben werden: (x – 2) · (x – 3) > 0 Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn beide Klammerausdrücke negativ oder beide positiv sind, d. h. wenn gilt: [x – 2 < 0 ? x – 3 < 0] = [x – 2 > 0 ? x – 3 > 0] [x < 2 ? x < 3] = [x > 2 ? x > 3] x < 2 = x > 3 Somit ergibt sich die Lösungsmenge: L = {x * ℝ ‡ x < 2 = x > 3} = (– • ; 2) ± (3; •) Grafisch betrachtet besteht die Lösungsmenge L aus jenen Bereichen auf der x-Achse, in denen der Graph der Funktion f mit f(x) = x​ ​ 2 ​– 5x + 6 über der x-Achse liegt. b) Die quadratische Gleichung x​ ​ 2 ​– 5x + 4 = 0 hat die Lösungen 1 und 4. Rechne nach! So - mit kann die gegebene Ungleichung so geschrieben werden: (x – 1) · (x – 4) < 0 Diese Ungleichung ist genau dann erfüllt, wenn die beiden Klammerausdrücke entgegen- gesetztes Vorzeichen haben, d. h. wenn gilt: [x – 1 > 0 ? x – 4 < 0] = [x – 1 < 0 ? x – 4 > 0] [x > 1 ? x < 4] = [x < 1 ? x > 4] [1 < x < 4] = [4 < x < 1] Da die Ungleichungskette 4 < x < 1 für kein x * ℝ erfüllt ist, ergibt sich die Lösungsmenge: L = {x * ℝ ‡ 1 < x < 4} = (1; 4) Grafisch betrachtet ist die Lösungsmenge L jener Bereich auf der x-Achse, in dem der Graph der Funktion f mit f(x) = ​x​ 2 ​– 5x + 4 unter der x-Achse liegt. AuFgaben 2 . 30 Für welche x * R gilt: a) x 2 – 8x + 12 > 0 d) x 2 – 3x – 4 < 0 g) 2x 2 – x < 6 b) x 2 – 10x + 21 < 0 e) 2x 2 + 15x + 7 > 0 h) x (x – 1) > 12 c) x 2 – x – 6 > 0 f) 3x 2 + 2x < 1 i) x 2 < 5x 2 . 31 Kreuze die richtige(n) Aussage(n) für x * ℝ an! Die Lösungsmenge der Ungleichung (x – 8) · (x + 9) º 0 ist ein offenes Intervall. c Die Lösungsmenge der Ungleichung (x – 8) · (x + 9) ª 0 ist ein abgeschlossenes Intervall. c Die Lösungsmenge der Ungleichung (x – 8) · (x + 9) > 0 ist kein Intervall. c Die Lösungsmenge der Ungleichung (x – 8) · (x + 9) < 0 ist ein unendliches Intervall. c Die Lösungsmenge der Ungleichung (x – 8) · (x + 9) ª –1 ist ein endliches Intervall. c L Ó Applet 7ev8sd kompakt Seite 38 f x L 0 1 2 3 4 5 – 2 2 4 6 8 6 L f(x) f x f(x) L 0 1 2 3 4 5 – 2 2 4 6 8 6 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv