Mathematik verstehen 6, Schulbuch

35 2 . 2 Besondere Ungleichungsarten ( in einer variablen) 2 . 2 Besondere Ungleichungsarten (in einer variablen) lineare Ungleichungen mit Beträgen Wir erinnern uns zunächst, dass für alle a > 0 gilt: † x † < a É – a < x < a † x † > a É x < – a = x > a 2 . 24 Für welche x * ℝ gilt: a) † 7x – 17 † < 11, b) † x + 4 † º 3? lösung: a) † 7x – 17 † < 11 b) † x + 4 † º 3 –11 < 7x – 17 < 11 | + 17 x + 4 ª –3 = x + 4 º 3 6 < 7x < 28 | : 7 x ª –7 = x º –1 ​ 6 _ 7 ​< x < 4 L = {x * ℝ ‡ x ª –7 = x º –1} = (– • ; –7] ± [–1; • ) L = ​ { x * ℝ​ ‡ ​ 6 _ 7 ​ ​ ​< x < 4 } ​= ​ 2 ​ 6 _ 7 ​; 4 3 ​ AuFgaben 2 . 25 Für welche x * R gilt: a) † x – 7 † > 2 c) † x + 4 † < 3 e) † 2x – 6 † º 4 g) † x + 10 † – 1 º 5 b) † x – 5 † ª 1 d) † 3x – 8 † < 14 f) † 3x – 4 † < 0 h) 2 – † – x + 9 † > 6 2 . 26 Übersetze die folgende Frage in eine Ungleichung und löse diese! a) Welche reellen Zahlen haben von 4 einen kleineren Abstand als 5? b) Welche reellen Zahlen haben von –1 einen größeren Abstand als 10? lineare Ungleichungen mit Parametern 2 . 27 Für welche x * R gilt ​ 3 – ax _ 2 ​< 1? lösung: ​ 3 – ax _ 2 ​< 1 ! · 2 3 – ax < 2 ! – 3 – ax < –1 ! · (–1) ax > 1 Wir unterscheiden nun drei Fälle für den Parameter a: 1. Fall: a > 0. Division durch a liefert: x > ​ 1 _ a ​ w L = ​ { x * R​ ‡ x > ​ 1 _ a ​ ​ ​ } ​= ​ 2 ​ 1 _ a ​; • 3 ​ 2. Fall: a < 0. Division durch a liefert: x < ​ 1 _ a ​ w L = ​ { x * R​ ‡ x < ​ 1 _ a ​ ​ ​ } ​= ​ 2 – • ; ​ 1 _ a ​ 3 ​ 3. Fall: a = 0. In diesem Fall ergibt sich: 0 > 1 w L = { } ( denn die Ungleichung 0 · x > 1 wird von keinem x * R erfüllt) AuFgaben 2 . 28 Für welche x * ℝ gilt die folgende Ungleichung? Unterscheide Fälle für den Parameter! a) a + ax < 2 c) ​ a · x _ 2 ​+ x < 1 e) ​ 3 _ 2 ​– fx < ​ 1 _ 4 ​ b) b º 1 – bx d) 6 – ​ ex _ 3 ​> 2ex f) ​ gx _ 2 ​+ 10x < 6 R 0 – a a 0 – a a Ó Applet f853pf R Ó lernapplet z5ni85 R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv