Mathematik verstehen 6, Schulbuch

285 BeWeise satz Ist b 1 + b 2 + … + b n eine endliche geometrische reihe mit n Gliedern und dem Quotienten q ≠ 1 , so gilt für ihre Summe S: s = b 1 · q n – 1 _ q – 1 BeWeis : Wir berechnen zuerst die Summe T = 1 + q + q 2 + … + q n – 2 + q n – 1 : I: 1 + q + q 2 + … + q n – 2 + q n – 1 = T | · q II: q + q 2 + … + q n – 2 + q n – 1 + q n = T · q Subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten, ergibt sich: q n – 1 = T · (q – 1) T = q n – 1 _ q – 1 Damit folgt: S = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n = b 1 + b 1 · q + b 1 · q 2 + … + b 1 · q n – 1 = = b 1 · (1 + q + q 2 + … + q n – 1 ) = b 1 · T = b 1 · q n – 1 _ q – 1 c zu 8.2 (seite 157) satz Besitzt eine unendliche geometrische reihe b 1 + b 2 + … + b n den Quotienten q mit † q † < 1 , dann gilt für ihre Summe S: s = b 1 · 1 _ 1 – q BeWeis : S n = b 1 + b 2 + b 3 + … + b n = b 1 + b 1 · q + b 1 · q 2 + … + b 1 · q n – 1 = = b 1 · (1 + q + q 2 + … + q n – 1 ) = b 1 · q n – 1 _ q – 1 Wegen † q † < 1 ist lim n ¥ • q n = 0 (siehe Seite 140). Damit folgt: S = lim n ¥ • S n = lim n ¥ • b 1 · 1 – q n _ 1 – q = b 1 · lim n ¥ • 1 – q n _ 1 – q = b 1 · 1 _ 1 – q c zu 14.3 (seite 269) Behauptung Für Ereignisse E 1 und E 2 mit P(E 1 ) ≠ 0 und P(E 2 ) ≠ 0 gilt: E 1 ist genau dann von E 2 unabhängig, wenn E 2 von E 1 unabhängig ist. BeWeis : Es gilt: – Ist E 1 von E 2 unabhängig, dann gilt nach Definition P(E 1 ‡ E 2 ) = P(E 1 ) . – Wegen der Multiplikationsregel für Ereignisse (S. 267) und des Satzes für die bedingte Wahrscheinlichkeit (S. 268) ergibt sich damit: P(E 2 ‡ E 1 ) = P(E 2 ? E 1 ) __ P(E 1 ) = P(E 2 ) · P(E 1 ‡ E 2 ) ___ P(E 1 ) = P(E 2 ) · P(E 1 ) __ P(E 1 ) = P(E 2 ) – Dh. E 2 ist von E 1 unabhängig. Die Umkehrung erfolgt analog, indem man E 1 und E 2 vertauscht. c Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv