Mathematik verstehen 6, Schulbuch

283 BeWeise BeWeis : (1) und (2) folgen unmittelbar aus der Definition von n 9 _ a. (3) 2 2 n 9 _ a 3 z 3 n = 2 n 9 _ a 3 z · n = 2 2 n 9 _ a 3 n 3 z = a z . Daraus folgt: 2 n 9 _ a 3 z = n 9 __ a z . (4) 2 n 9 _ a· n 9 _ b 3 n = 2 n 9 _ a 3 n · 2 n 9 _ b 3 n = a · b. Daraus folgt: n 9 ___ a · b= n 9 _ a· n 9 _ b. (5) n 9 _ a _ b = n 9 ___ a · 1 _ b = n 9 ____ a · b ‒1 = n 9 _ a· n 9 __ b ‒1 = n 9 _ a·( n 9 _ b) ‒1 = n 9 _ a· 1 _ n 9 _ b = n 9 _ a _ n 9 _ b (6) 2 m 9 __ n 9 _ a 3 m· n = m 9 _____ 2 n 9 _ a 3 m· n = m 9 _____ 2 n 9 _ a 3 n · m = m 9 _____ 2 2 n 9 _ a 3 n 3 m = m 9 __ a m = a. Daraus folgt: m 9 __ n 9 _ a= m · n 9 _ a. (7) 2 k ·m 9 ___ a k · n 3 m = 2 m · k 9 ___ (a n ) k 3 m = 2 m 9 ___ k 9 __ (a n ) k 3 m = k 9 ___ (a n ) k = a n . Daraus folgt: k ·m 9 ___ a k · n = m 9 __ a n c zu 1.4 (seite 19) satz (rechenregeln für Potenzen mit rationalen exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle r, s * ℚ gilt: (1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (3) (a r ) s = a r · s (4) (a · b) r = a r · b r (5) 2 a _ b 3 r = a r _ b r BeWeis : Wir setzen r = m _ n und s = k _ l mit m, k * ℤ und n, l * ℕ *. (1) a r · a s = a m _ n · a k _ l = a l · m _ l · n · a k · n _ l · n = l · n 9 ___ a l · m · l · n 9 ___ a k · n = l · n 9 ______ a l · m · a k · n = l · n 9 _____ a l · m + k · n = a l · m + k · n __ l · n = a m _ n + k _ l = = a r + s (2) a r _ a s = a r · 1 _ a s = a r · a – s = a r + (– s) = a r – s (3) (a r ) s = 2 a m _ n 3 k _ l = 2 n 9 __ a m 3 k _ l = l 9 ____ 2 n 9 _ a m 3 k = l 9 ____ n 9 ( a m ) k = l 9 ____ n 9 a m· k = l · n 9 ___ a m· k = a m · k _ l · n = a m _ n · k _ l = a r · s (4) (a · b) r = (a · b) m _ n = n 9 ____ (a · b) m = n 9 ____ a m · b m = n 9 __ a m · n 9 __ b m = a m _ n · b m _ n = a r · b r (5) 2 a _ b 3 r = 2 a · 1 _ b 3 r = a r · 2 1 _ b 3 r = a r · (b ‒1 ) r = a r · b ‒ r = a r · 1 _ b r = a r _ b r c zu 3.2 (seite 50) satz (eigenschaften von Potenzfunktionen mit exponenten aus ℕ *) (1) Alle Graphen gehen durch die Punkte (0 1 0) und (1 1 1). Für gerades n gehen alle Graphen durch (–1 1 1), für ungerades n durch (–1 1 –1). (2) f ist in ℝ 0 + streng monoton steigend. (3) f ist in ℝ 0 – streng monoton fallend, falls n gerade ist, und streng monoton steigend, falls n ungerade ist. BeWeis : (1) f(0) = 0 n = 0, f(1) = 1 n = 1. Für gerades n ist f(–1) = (–1) n = 1, für ungerades n ist f(–1) = (–1) n = –1 (2) Für alle x 1 , x 2 * R + gilt: x 1 < x 2 w x 2 _ x 1 > 1 w 2 x 2 _ x 1 3 n > 1 w x 2 n _ x 1 n > 1 w x 1 n < x 2 n Die Wenn-dann-Aussage x 1 < x 2 w x 1 n < x 2 n gilt offensichtlich aber auch, wenn x 1 = 0 ist. Somit gilt für alle x 1 , x 2 * R 0 + : x 1 < x 2 w x 1 n < x 2 n w f(x 1 ) < f(x 2 ) (3) Für alle x 1 , x 2 * R 0 – sind – x 1 und – x 2 * R 0 + . Somit gilt nach (2): x 1 < x 2 w – x 1 > – x 2 w w (– x 1 ) n > (– x 2 ) n Daraus folgt für gerades n: x 1 < x 2 w x 1 n > x 2 n w f(x 1 ) > f(x 2 ) für ungerades n: x 1 < x 2 w – x 1 n > – x 2 n w x 1 n < x 2 n w f(x 1 ) < f(x 2 ) c (2) (4) (3) (3) (6) (2) (1) (1) (4) (3) (Satz auf Seite 21) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv