Mathematik verstehen 6, Schulbuch

282 aNhaNg ANhaNG: BEWEISE zu 1.2 (seite 10) satz (rechenregeln für Potenzen mit ganzzahligen exponenten) Für alle a, b * ℝ * und alle m, n * ℤ gilt: (1) a m · a n = a m + n (2) a m _ a n = a m – n (3) (a m ) n = a m· n (4) (a · b) n = a n · b n (5) 2 a _ b 3 n = a n _ b n BeWeis : (1) Für m > 0 und n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für m = 0 oder n = 0, denn für m = 0 sind beide Seiten gleich a n und für n = 0 sind beide Seiten gleich a m . Wir müssen also nur mehr die folgenden Fälle betrachten: 1. Fall: m > 0, n < 0. Wir setzen n = – s mit s > 0. a m · a n = a m · a – s = a m · 1 _ a s = a m _ a s = a m – s = a m – 2 – n 3 = a m + n 2. Fall: m < 0, n > 0 a m · a n = a n · a m = a n + m = a m + n 3. Fall: m < 0, n < 0. Wir setzen m = – r und n = – s mit r, s > 0. a m · a n = a – r · a – s = 1 _ a r · 1 _ a s = 1 _ a r + s = a – (r + s) = a (– r) + (– s) = a m + n (2) a m _ a n = a m · 1 _ a n = a m · a – n = a m + (–n) = a m – n (3) Für m > 0 und n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für m = 0 oder n = 0, denn in diesen Fällen sind beide Seiten gleich 1. Wir müssen also nur mehr die folgenden Fälle betrachten: 1. Fall: m > 0, n < 0. Wir setzen n = – s mit s > 0. (a m ) n = (a m ) – s = 1 _ (a m ) s = 1 _ a m · s = a – (m · s) = a m· (– s) = a m· n 2. Fall: m < 0, n > 0. Wir setzen m = – r mit r > 0. (a m ) n = (a – r ) n = 2 1 _ a r 3 n = 1 n _ (a r ) n = 1 _ a r · n = a – (r · n) = a (– r) · n = a m· n 3. Fall: m < 0, n < 0. Wir setzen m = – r und n = – s mit r, s > 0. (a m ) n = (a – r ) – s = 1 _ (a – r ) s = 1 _ a – r · s = a r · s = a (–m) · (–n) = a m· n (4) Für n > 0 haben wir die Regel schon im Abschnitt 1.1 bewiesen. Die Regel gilt auch für n = 0, denn in diesem Fall sind beide Seiten gleich 1. Wir müssen also nur mehr den Fall n < 0 betrachten. Wir setzen n = – s mit s > 0. (a · b) n = (a · b) – s = 1 _ (a · b) s = 1 _ a s · b s = 1 _ a s · 1 _ b s = 1 _ a –n · 1 _ b –n = a n · b n (5) 2 a _ b 3 n = 2 a · 1 _ b 3 n = a n · 2 1 _ b 3 n = a n · (b –1 ) n = a n · b –n = a n · 1 _ b n = a n _ b n c zu 1.3 (seite 14) satz (rechenregeln für Wurzeln) Für alle a, b * ℝ 0 + , alle m, n, k * ℕ * und alle z * ℤ gilt: (1) n 9 __ a n = a (2) 2 n 9 _ a 3 n = a (3) 2 n 9 _ a 3 z = n 9 __ a z (falls a ≠ 0) (4) n 9 ___ a · b= n 9 _ a· n 9 _ b (5) n 9 _ a _ b = n 9 _ a _ n 9 _ b (falls b ≠ 0) (6) m 9 __ n 9 _ a= m· n 9 _ a (7) k ·m 9 ___ a k · n = m 9 __ a n 1. Fall (1) 2. Fall (4) (3) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv