Mathematik verstehen 6, Schulbuch

271 14 . 3 addi t ions- und Mult ipl ikat ionsregel FÜr ereignisse 14 . 63 Man weiß, dass 10% der Frauen einer bestimmten Region an Brustkrebs leiden. Ein Test ergibt bei 90% aller Erkrankten einen positiven Befund, aber leider auch bei 4% aller Nichterkrankten. Mit einer zufällig aus dieser Region ausgewählten Frau wird der Test durchgeführt. 1) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Frau tatsächlich Brustkrebs, falls der Test positiv ist? 2) Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat die Frau tatsächlich Brustkrebs, obwohl der Test negativ ist? a) lösung mi ttels vierFeldertaFel Wir tragen die gegebenen 10% in eine vierfeldertafel ein und ergänzen die restlichen Felder entsprechend den Angaben. Achte dabei darauf, dass sich die gegebenen Prozentsätze (90% und 10%) auf unterschiedliche Grundmengen beziehen! Pos Neg Gesamt K 0,9 · 0,1 = 0,09 0,1 · 0,1 = 0,01 0,1 ¬K 0,04 · 0,9 = 0,036 0,96 · 0,90 = 0,864 0,9 Gesamt 0,126 0,874 1,0 Wenn wir als Wahrscheinlichkeiten die entsprechenden relativen Anteile nehmen, erhalten wir nach dem Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit: 1) P(K ‡ Pos) = ​ P(K ? Pos) __ P(Pos) ​= ​ 0,09 _ 0,126 ≈ 0,714 2) P(K ‡ Neg) = ​ P(K ? Neg) __ P(Neg) ​= ​ 0,01 _ 0,874 ≈ 0,011 b) lösung mi ttels Baumdiagramm Anhand des nebenstehenden Baumdiagramms berechnen wir zunächst: P(Pos) = 0,1 · 0,9 + 0,9 · 0,04 = 0,126 P(Neg) = 0,1 · 0,1 + 0,9 · 0,96 = 0,874 Damit erhalten wir nach dem Satz von Bayes: 1) P(K ‡ Pos) = ​ P(K) · P(Pos ‡ K) ___ P(Pos) ​= ​ 0,1 · 0,9 __ 0,126 ≈ 0,714 2) P(K ‡ Neg) = ​ P(K) · P(Neg ‡ K) ___ P(Neg) ​= ​ 0,1 · 0,1 __ 0,874 ≈ 0,011 Wir stellen die Situation in der letzten Aufgabe noch auf eine andere Art dar. Dazu nehmen wir an, dass in der Region 1000 Frauen leben. Dann kann die Situation durch ein Baumdiagramm oder ein Mengendiagramm dargestellt werden. Die Wahrscheinlichkeit P(K ‡ Pos) ist gleich dem relativen Anteil der an Brustkrebs erkrankten Frauen mit positivem Befund an allen Frauen mit positivem Befund. Aus beiden Darstellungen kann man ablesen, dass dieser relative Anteil gleich ​ 90 __ 90 + 36 ≈ 0,714 ist. 0,9 0,1 ¬ K K Pos Neg Pos Neg 0,9 0,1 0,96 0,04 1 000 ¬ K: 900 K: 100 Pos: 90 Pos: 36 1 000 erkrankt positiver Befund Menge der Frauen der Region 90 36 10 100 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv