Mathematik verstehen 6, Schulbuch

270 14 rechnen mi t Wahrscheinl ichkei ten Der satz von Bayes Wir betrachten jetzt einen aus zwei Teilversuchen bestehenden Zufallsversuch und interessieren uns dafür, ob beim ersten Teilversuch das Ereignis E 1 oder das Gegenereignis ¬ E 1 eintritt und beim zweiten Teilversuch das Ereignis E 2 eintritt. Anhand des Baumdiagramms berechnen wir: P(E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) + P(¬ E 1 ) · P(E 2 ‡ ¬ E 1 ) Nach dem Satz von der bedingten Wahrscheinlichkeit und der Multiplikationsregel für Ereignisse ergibt sich: P(E 1 ‡ E 2 ) = P(E 1 ? E 2 ) __ P(E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) ___ P(E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) _____ P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) + P(¬ E 1 ) · P(E 2 ‡ ¬ E 1 ) Damit erhalten wir einen Satz, der auf den englischen Mathematiker thomas Bayes (1702–1761) zurückgeht: satz von Bayes Für Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs gilt: P(e 1 ‡ e 2 ) = P(e 1 ) · P(e 2 ‡ e 1 ) ___ P(e 2 ) = P(e 1 ) · P(e 2 ‡ e 1 ) _____ P(e 1 ) · P(e 2 ‡ e 1 ) + P(¬ e 1 ) · P(e 2 ‡ ¬ e 1 ) (sofern P(E 2 ) ≠ 0) Das Bemerkenswerte an diesem Satz besteht darin, dass man P(E 1 ‡ E 2 ) berechnen kann, obwohl E 1 im Baumdiagramm vor E 2 auftritt. Eine bedingte Wahrscheinlichkeit P(E 1 ‡ E 2 ) setzt aber nicht voraus, dass E 1 zeitlich vor E 2 eintritt. eine anwendung in der Medizin Um festzustellen, ob jemand an einer bestimmten Krankheit leidet, wird häufig ein medizinischer Test durchgeführt. Im Regelfall arbeitet ein solcher Test nicht absolut zuverlässig. Man muss viel- mehr zwei Testmängel feststellen: Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zeigt der Test die Krankheit nicht an, obwohl sie beim Patienten tatsächlich vorhanden ist (falsch-negatives Ergebnis). Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit zeigt der Test die Krankheit fälschlicherweise an, obwohl der Patient gar nicht an der Krankheit leidet (falsch-positives Ergebnis). Wir nehmen im Folgenden an, dass bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Krankheit in der zugrundeliegenden Population vorhanden ist, und betrachten folgende Ereignisse: K: Patient leidet an der Krankheit Pos: Test ist positiv (zeigt Krankheit an) ¬K: Patient leidet an der Krankheit nicht Neg: Test ist negativ (zeigt Krankheit nicht an) Aus medizinischer Sicht sind die folgenden beiden Fragen von besonderer Bedeutung: Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient tatsächlich an der Krankheit, falls der Test positiv ist? Gefragt ist also P(K ‡ Pos) . Mit welcher Wahrscheinlichkeit leidet der Patient trotzdem an der Krankheit, obwohl der Test negativ ist? Gefragt ist also P(K ‡ Neg) . L P(¬ e 1 ) P(e 1 ) ¬ e 1 e 1 P(e 2 | ¬ e 1 ) P(e 2 | e 1 ) e 2 e 2 P(¬ e 1 ) P(e 1 ) ¬ e 1 e 1 P(e 2 | ¬ e 1 ) P(e 2 | e 1 ) e 2 e 2 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv