Mathematik verstehen 6, Schulbuch

269 14 . 3 addi t ions- und Mult ipl ikat ionsregel FÜr ereignisse Multiplikationsregel für unabhängige ereignisse Es seien E 1 und E 2 zwei Ereignisse mit P(E 1 ) ≠ 0 und P(E 2 ) ≠ 0. Auf Seite 250 haben wir definiert: Das Ereignis E 1 ist vom Ereignis E 2 unabhängig, wenn P(E 1 ) = P(E 1 ‡ E 2 ) . Das Ereignis E 2 ist vom Ereignis E 1 unabhängig, wenn P(E 2 ) = P(E 2 ‡ E 1 ) . Dabei mussten wir die Aussagen „E 1 ist von E 2 unabhängig“ und „E 2 ist von E 1 unabhängig“ zunächst unterscheiden. Man kann aber zeigen, dass diese beiden Aussagen äquivalent sind, sodass man einfach von den unabhängigen ereignissen e 1 und e 2 sprechen kann (Beweis im Anhang auf Seite 285). Durch Anwendung der Multiplikationsregel erkennt man, dass zwei Ereignisse E 1 und E 2 mit P(E 1 ) ≠ 0 und P(E 2 ) ≠ 0genau dann unabhängig sind, wenn gilt: P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) Die Gleichung P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) gilt auch dann, wenn P(E 1 ) = 0 oder P(E 2 ) = 0 ist (beide Seiten der Gleichung sind dann gleich 0). Der Einfachheit halber spricht man auch in diesem Fall von den unabhängigen ereignissen e 1 und e 2 und kann damit ohne Einschränkung formulieren: satz (Multiplikationsregel für unabhängige ereignisse) Zwei Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs sind genau dann unabhängig , wenn gilt: P(e 1 ? e 2 ) = P(e 1 ) · P(e 2 ) Diese Regel ist nützlich, um zu überprüfen, ob zwei Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig sind. Man braucht nur nachzusehen, ob die Beziehung P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) erfüllt ist. 14 . 59 Ein Würfel wird geworfen. Überprüfe, ob die Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig sind! a) E 1 : Es kommt eine gerade Zahl. E 2 : Es kommt eine Zahl º 5. b) E 1 : Es kommt eine gerade Zahl. E 2 : Es kommt eine Primzahl. lösung: Wir gehen von den jeweiligen Ereignismengen aus. a) M(E 1 ) = {2, 4, 6}, M(E 2 ) = {5, 6}, M(E 1 ? E 2 ) = {6} P(E 1 ) = 1 _ 2 , P(E 2 ) = 1 _ 3 , P(E 1 ? E 2 ) = 1 _ 6 P(E 1 ? E 2 ) = P(E 1 ) · P(E 2 ) w E 1 und E 2 sind unabhängig b) M(E 1 ) = {2, 4, 6}, M(E 2 ) = {2, 3, 5}, M(E 1 ? E 2 ) = {2} P(E 1 ) = 1 _ 2 , P(E 2 ) = 1 _ 2 , P(E 1 ? E 2 ) = 1 _ 6 P(E 1 ? E 2 ) ≠ P(E 1 ) · P(E 2 ) w E 1 und E 2 sind nicht unabhängig auFgaben 14 . 60 Ein Würfel wird geworfen. Zeige mit Hilfe der Multiplikationsregel für unabhängige Ereignisse, dass die Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig sind! a) E 1 : Es kommt eine gerade Zahl. E 2 : Es kommt 2 oder 3. b) E 1 : Es kommt eine ungerade Zahl. E 2 : Es kommt eine Zahl º 5. c) E 1 : Es kommt eine Zahl ª 4. E 2 : Es kommt eine der Zahlen 2, 3, 5. d) E 1 : Es kommt 1 oder 2 E 2 : Es kommt eine Primzahl 14 . 61 Ein Würfel wird geworfen. Sind die Ereignisse E 1 und E 2 unabhängig? a) E 1 : Es kommt 2, 3, 5 oder 6. E 2 : Es kommt 3 oder 4. b) E 1 : Es kommt eine ungerade Zahl. E 2 : Es kommt 3 oder 4. 14 . 62 Zwei Würfel werden geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) zweimal 6 zu erhalten, b) einen Pasch (zwei gleiche Augenzahlen) zu erhalten? R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv