Mathematik verstehen 6, Schulbuch

268 14 rechnen mi t Wahrscheinl ichkei ten Begründung mit relativen Häufigkeiten: Wir denken uns den versuch n-mal durchgeführt (n sehr groß). Unter den n versuchen trete das Ereignis E 1 bei m versuchen ein, dh. P(E 1 ) = m _ n . Unter den m versuchen, bei denen E 1 eintritt, trete E 2 bei k versuchen ein, dh. P(E 2 ‡ E 1 ) = k _ m . Beide Ereignisse treten dann bei insgesamt k von n versuchen ein, dh. P(E 1 ? E 2 ) = k _ n . Damit ergibt sich: P(E 1 ? E 2 ) = k _ n = m _ n · k _ m = P(E 1 ) · P(E 2 ‡ E 1 ) c Wegen P(E 1 ? E 2 ) = P(E 2 ? E 1 ) gilt auch P(E 1 ? E 2 ) = P(E 2 ) · P(E 1 ‡ E 2 ) und daraus folgt: satz für die bedingte Wahrscheinlichkeit Für Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs gilt: P(e 1 ‡ e 2 ) = P(e 1 ? e 2 ) __ P(e 2 ) (sofern P(E 2 ) ≠ 0) auFgaben 14 . 54 Ein Kosmetikprodukt ruft bei ca. 8% der Anwender eine Hautrötung und bei ca. 0,24% eine Hautrötung mit anschließendem Juckreiz hervor. Jemand wendet dieses Produkt an und stellt eine Hautrötung fest. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird ein Juckreiz folgen? lösung: Wir betrachten folgende Ereignisse: H: Es tritt nach Anwendung eine Hautrötung ein. J: Es tritt nach Anwendung ein Juckreiz auf. Laut Angabe gilt: P(H) = 0,08 und P(H ? J) = 0,0024. Daraus ergibt sich: P(J ‡ H) = P(H ? J) __ P(H) = 0,0024 _ 0,08 = 0,03 Mit einer Wahrscheinlichkeit von 3% folgt dem Auftreten der Hautrötung ein Juckreiz. 14 . 55 Eine bestimmte Nervenkrankheit kann durch ein virus hervorgerufen werden, bricht aber nicht bei jedem virusträger aus. Eine Untersuchung in einer Region hat ergeben: ca. 30% der Bewohner tragen dieses virus in sich, ca. 6% der Bewohner sind virusträger mit ausgebrochener Krankheit. Bei einem untersuchten Mann wird festgestellt, dass er virusträger ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bricht die Krankheit bei ihm aus? 14 . 56 Bei einem Algebratest werden zwei Fehler F 1 und F 2 untersucht. von den untersuchten Personen machen 35% den Fehler F 1 und 7% beide Fehler. Wenn eine Person den Fehler F 1 macht, mit welcher Wahrscheinlichkeit macht sie dann auch den Fehler F 2 ? 14 . 57 RapidFly fliegt zwischen Aheim und Beheim. Wegen gelegentlich schlechter Witterungsverhält- nisse kann RapidFly nur in 98% aller Fälle in Aheim starten, kann allerdings dann nicht immer in Beheim landen, sondern muss gelegentlich einen Ausweichflughafen ansteuern. Ein Start in Aheim mit anschließender Landung in Beheim gelingt nur in 95% aller Fälle. Ermittle mit Hilfe der Multiplikationsregel für Ereignisse die Wahrscheinlichkeit, dass ein RapidFly -Flugzeug in Beheim landet, wenn es in Aheim bereits gestartet ist! 14 . 58 In einer Stadt schneit es an einem Dezembertag mit der Wahrscheinlichkeit 0,40 und an zwei aufeinander folgenden Dezembertagen mit der Wahrscheinlichkeit 0,0028. Angenommen, es schneit an einem Dezembertag. Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt auch am darauf folgenden Tag Schnee? R Nur z Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv