Mathematik verstehen 6, Schulbuch

267 14 . 3 addi t ions- und Mult ipl ikat ionsregel FÜr ereignisse Begründung mit relativen Häufigkeiten: Der versuch werde n-mal unter den gleichen Bedingungen durchgeführt. Dabei trete das Ereignis E 1 genau k-mal und das Ereignis E 2 genau m-mal ein. Da die Ereignisse E 1 und E 2 nicht gleichzeitig eintreten können, tritt das Ereignis E 1 = E 2 genau (k + m)-mal ein. Daraus folgt: P(E 1 = E 2 ) ≈ h n (E 1 = E 2 ) = k + m _ n = k _ n + m _ n = h n (E 1 ) + h n (E 2 ) ≈ P(E 1 ) + P(E 2 ) c Die Additionsregel lässt sich auf mehrere Ereignisse E 1 , E 2 , …, E n verallgemeinern, wenn man voraussetzt, dass keine zwei dieser Ereignisse gleichzeitig eintreten können. Man sagt in einem solchen Fall kurz: Die Ereignisse schließen einander paarweise aus . satz: Sind e 1 , e 2 , …, e n einander paarweise ausschließende ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(e 1 = e 2 = … = e n ) = P(e 1 ) + P(e 2 ) + … + P(e n ) auFgaben 14 . 51 Luca und seine Freundin Lena spielen im Spielcasino Roulette (siehe Seite 238). Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der beiden gewinnt, wenn die beiden folgendermaßen setzen: a) Luca setzt auf die erste Kolonne (1, 4, 7, 10, …, 34), Lena auf die zweite Kolonne (2, 5, 8, 11, …, 35). b) Luca setzt auf Pair (2, 4, 6, …, 36), Lena auf Impair (1, 3, 5, …, 35) 14 . 52 Überprüfe, dass die Ereignisse E 1 und E 2 einander ausschließen und berechne P(E 1 = E 2 ): a) Zweimaliger Münzwurf: E 1 : Es kommt zweimal Zahl, E 2 : Es kommt zweimal Kopf. b) Zweimaliger Münzwurf: E 1 : Es kommt zweimal Zahl, E 2 : Es kommt genau einmal Kopf. 14 . 53 1) Beweise die Additionsregel für drei Ereignisse: Sind E 1 , E 2 , E 3 einander paarweise ausschließende Ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(E 1 = E 2 = E 3 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) + P(E 3 ) (Hinweis: Setze vorübergehend E 2 = E 3 = E !) 2) Formuliere diese Regel in Worten! Multiplikationsregel für ereignisse Die Multiplikationsregel haben wir im Abschnitt 14.1 nur für versuchsausgänge formuliert: Die Wahrscheinlichkeit eines versuchsausgangs ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zum ausgang gehörigen Wegs. Wir wollen jetzt eine entsprechende Regel für zwei Ereignisse formulieren. Dazu betrachten wir einen Zufallsversuch und prüfen, ob bei einer Durchführung dieses versuchs zwei Ereignisse E 1 und E 2 zugleich eintreten. Wir zerlegen diese Prüfung in zwei aufeinanderfolgende Schritte. Im ersten Schritt untersuchen wir, ob E 1 eingetreten ist, was mit der Wahrscheinlichkeit P(E 1 ) zutrifft. Für den Fall, dass E 1 eingetreten ist, prüfen wir im zweiten Schritt, ob zusätzlich auch das Ereignis E 2 einge treten ist, was mit der bedingten Wahrscheinlichkeit P(E 2 ‡ E 1 ) zutrifft. Anhand des nebenstehenden Diagramms vermuten wir: satz (Multiplikationsregel für ereignisse): Für Ereignisse E 1 und E 2 eines Zufallsversuchs gilt: P(e 1 ? e 2 ) = P(e 1 ) · P(e 2 ‡ e 1 ) R R P(E 1 ) E 1 1. Schritt P(E 2 | E 1 ) E 2 2. Schritt Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv