Mathematik verstehen 6, Schulbuch

266 14 rechnen mi t Wahrscheinl ichkei ten 14 . 3 additions- und Multiplikationsregel FÜr ereignisse additionsregel für ereignisse Die Additionsregel haben wir im Abschnitt 14.2 nur für versuchsausgänge formuliert: sind a und B zwei ausgänge eines zufallsversuchs, dann gilt: P(a = B) = P(a) + P(B). Wir überlegen uns jetzt, unter welcher voraussetzung diese Regel nicht nur für versuchs ausgänge, sondern für beliebige Ereignisse gilt. Beachte dabei: Ereignisse können sich aus mehreren versuchsausgängen zusammensetzen. 14 . 49 Ein Würfel wird geworfen. Wir betrachten die Ereignisse: E 1 : Es kommt eine Zahl ª 2. E 2 : Es kommt eine Zahl º 4. Berechne P(E 1 ) und P(E 2 )! Gilt P(E 1 = E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 )? lösung: P(E 1 ) = 2 _ 6 , P(E 2 ) = 3 _ 6 Das Ereignis E 1 = E 2 tritt genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2 oder eine der Zahlen 4, 5, 6 kommt. Es tritt also genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2, 4, 5, 6 fällt. Also gilt hier: P(E 1 = E 2 ) = 5 _ 6 = P(E 1 ) + P(E 2 ) 14 . 50 Ein Würfel wird geworfen. Wir betrachten die Ereignisse: E 1 : Es kommt eine ungerade Zahl. E 2 : Es kommt eine Primzahl. Berechne P(E 1 ) und P(E 2 )! Gilt P(E 1 = E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 )? lösung: P(E 1 ) = 3 _ 6 , P(E 2 ) = 3 _ 6 Das Ereignis E 1 = E 2 tritt genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 3, 5 oder eine der Zahlen 2, 3, 5 kommt. Es tritt also genau dann ein, wenn eine der Zahlen 1, 2, 3, 5 fällt. Also ergibt sich: P(E 1 = E 2 ) = 4 _ 6 ≠ P(E 1 ) + P(E 2 ) An den letzten beiden Aufgaben sehen wir: Die Beziehung P(E 1 = E 2 ) = P(E 1 ) + P(E 2 ) gilt manchmal, aber nicht immer. Die Aufgaben lassen jedoch vermuten, dass diese Beziehung genau dann gilt, wenn die Ereignisse E 1 und E 2 nicht gleichzeitig eintreten können: In Aufgabe 14.49 können E 1 und E 2 nicht gleichzeitig eintreten, denn es kann nicht gleichzeitig eine Zahl ª 2 und eine Zahl º 4 kommen. In Aufgabe 14.50 können E 1 und E 2 jedoch gleichzeitig eintreten, denn es kann eine Zahl kommen, die ungerade und gleichzeitig Primzahl ist, nämlich 3 oder 5. Definition Zwei Ereignisse eines Zufallsversuchs heißen einander ausschließend , wenn sie nicht beide zugleich eintreten können. satz (additionsregel für ereignisse) Sind E 1 u nd E 2 einander ausschließende ereignisse eines Zufallsversuchs, dann gilt: P(e 1 = e 2 ) = P(e 1 ) + P(e 2 ) R Nur zu Prüfzwecken – E gentum des Verlags öbv