Mathematik verstehen 6, Schulbuch

257 14 .1 Mult ipl ikat ionsregel FÜr versuchsausgÄnge 14 . 01 Herr Adam spielt an einem Automaten A, bei dem man mit der Wahrscheinlichkeit ​ 1 _ 4 ​gewinnt, und anschließend an einem Automaten B, bei dem man mit der Wahrscheinlichkeit ​ 1 _ 5 ​gewinnt. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass er 1) bei beiden Automaten gewinnt, 2) beim ersten Automaten verliert und beim zweiten gewinnt! lösung: Wir zeichnen jeweils ein Baumdiagramm. 1) Das Ereignis, dass Herr Adam zuerst am Automaten A und dann am Automaten B gewinnt, ist im nebenstehenden Baumdiagramm rot hervorgehoben. Zur Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses kommen wir durch folgende Überlegung: Wir denken uns den Gesamtversuch (aufeinanderfolgende Betätigung beider Automaten) sehr oft durchgeführt. ­ Dabei wird Herr Adam in ca. ​ 1 _ 4 ​aller versuche beim Automaten A gewinnen. In ca. ​ 1 _ 5 ​aller versuche, in denen er beim Automaten A gewonnen hat, wird er auch beim Automaten B gewinnen. Insgesamt wird er also in ca. ​ 1 _ 5 ​von ​ 1 _ 4 ​aller versuche bei beiden Automaten gewinnen. Wir schließen daraus: P(Herr adam gewinnt bei a und B) = ​ 1 _ 5 ​von ​ 1 _ 4 ​= ​ 1 _ 5 ​· ​ 1 _ 4 ​= ​ 1 _ 4 ​· ​ 1 _ 5 ​= ​ 1 _ 20 ​ 2) Das Ereignis, dass Herr Adam beim Automaten A verliert und beim Automaten B gewinnt, ist im neben­ stehenden Baumdiagramm rot hervorgehoben. Überlege selbst wie in 1): P(Herr adam verliert bei a und gewinnt bei B) = = ​ 1 _ 5 ​von ​ 3 _ 4 ​= ​ 1 _ 5 ​· ​ 3 _ 4 ​= ​ 3 _ 4 ​· ​ 1 _ 5 ​= ​ 3 _ 20 ​ 14 . 02 Frau Adam spielt nacheinander an drei Spielautomaten A, B und C. Bei A gewinnt man mit der Wahrscheinlichkeit ​ 1 _ 4 ​, bei B mit der Wahrscheinlichkeit ​ 1 _ 5 ​und bei C mit der Wahrscheinlichkeit ​ 1 _ 7 ​. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass Frau Adam bei A gewinnt und bei B und C verliert! lösung: Alle möglichen Ausgänge sind im nebenstehenden Baumdiagramm dargestellt. Das Ereignis, dass Frau Adam bei A gewinnt und bei B und C verliert, ist rot hervorgehoben. Überlege selbst wie in der vorigen Aufgabe: P(Frau adam gewinnt bei a und verliert bei B und C) = = ​ 6 _ 7 ​von ​ 4 _ 5 ​von ​ 1 _ 4 ​= ​ 6 _ 7 ​· ​ 4 _ 5 ​· ​ 1 _ 4 ​= ​ 1 _ 4 ​· ​ 4 _ 5 ​· ​ 6 _ 7 ​= ​ 6 _ 35 ​ Allgemein gilt: satz (Multiplikationsregel für versuchsausgänge) Die Wahrscheinlichkeit eines versuchsausgangs in einem mehrstufigen zufallsversuch ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des zum ausgang gehörigen Wegs im Baumdiagramm. 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 Automat A Automat B g v g v g v 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 Automat A Automat B g v g v g v 1 4 3 4 1 5 4 5 1 5 4 5 g v 1 7 6 7 1 7 6 7 1 7 6 7 1 7 6 7 g v g v g v g v g v g v Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv