Mathematik verstehen 6, Schulbuch

25 1 . 6 logari thmen Die euler’sche zahl e und der natürliche logarithmus In vielen Anwendungen benutzt man Logarithmen, deren Basis die so genannte euler’sche zahl e ist. Wie diese Zahl e genau definiert ist, werden wir erst im Abschnitt 8.4 angeben. Hier sei nur so viel gesagt: Die euler’sche zahl e ist irrational und es ist e ≈ 2,718281828 . Der Logarithmus zur Basis e erhält einen eigenen Namen: Definition Sei x * ℝ + . Die Zahl log e x heißt natürlicher logarithmus von x und wird mit lnx bezeichnet [Lies: logarithmus naturalis von x]. Aufgaben 1 .111 Berechne! a) ln2 b) ln10 c) ln (0,1) d) ln (0,5) 1 .112 Berechne! a) lne c) ln e 8,5 e) ln 1 _ e 2 g) ln(lne) b) ln e 2 d) ln 1 _ e f) ln1 h) e ln x 1 .113 Kreuze die richtige(n) Aussage(n) an, ohne Technologie einzusetzen! a) b) exponentialgleichungen mit der Basis e Exponentialgleichungen mit der Basis e löst man einfacher mit dem natürlichen Logarithmus als mit dem Zehnerlogarithmus. 1 .114 e 2x = 5. Berechne x näherungsweise! lösung: e 2x = 5 2x = ln5 x = ln5 _ 2 ≈ 0,8047 Probe: e 2 · 0,8047 ≈ 5 (genauer durch Abspeichern der Lösung x) 1 .115 Berechne x näherungsweise! a) e x + 1 = 8 b ) e 2x + 1 = 2 c) e 3x = 2 · e 2x d) e ln x = e R Leonhard Euler R e 0 = lne  e lne = e  ln1 = 1  ln(lne) = e  lne lne = 1  ln x = 2 É e 2 = x  ln x 2 = 4 É e 2 = x  lne = 0  ln 1 _ 2x = – (ln2 + ln x)  ln1 = log 10 1  R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv