Mathematik verstehen 6, Schulbuch

249 13 . 3 Bedingte Wahrscheinl ichkei t und unabhÄngige ereignisse 13 . 3 Bedingte Wahrscheinlichkeit und unabhÄngige ereignisse Wahrscheinlichkeit und informationsstand 13 . 31 Die 628 Beschäftigten einer Firma arbeiten in zwei Abteilungen A und B. Die nebenstehende Tabelle gibt die Anzahlen der Beschäftigten, gegliedert nach Abteilung und Geschlecht, an. Aus allen Beschäftigten der Firma wird eine Person x zufällig ausgewählt. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 1) x aus Abteilung A stammt, 2) x aus Abteilung A stammt, wenn man bereits weiß, dass eine Frau ausgewählt wurde, 3) x aus Abteilung A stammt, wenn man bereits weiß, dass ein Mann ausgewählt wurde! lösung: 1) P(x stammt aus A) = 390 _ 628 ≈ 0,62 2) P(x stammt aus A, wenn man weiß, dass eine Frau ausgewählt wurde) = 201 _ 299 ≈ 0,67 3) P(x stammt aus A, wenn man weiß, dass ein Mann ausgewählt wurde) = 189 _ 329 ≈ 0,57 Die letzte Aufgabe zeigt: Wahrscheinlichkeiten hängen immer vom informationsstand ab. Ändert sich der Informationsstand über relevante Fakten, so ändern sich im Allgemeinen auch Wahrscheinlichkeitsberechnungen, die damit zusammenhängen. In Aufgabe 13.31 haben wir ua. die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „x stammt aus A“ unter der voraussetzung berechnet, dass x eine Frau ist. Man schreibt dafür kurz: P(x stammt aus A ‡ X ist eine Frau) ≈ 0,67 Ebenso schreibt man: P(x stammt aus A ‡ X ist ein Mann) ≈ 0,57 Definition Es seien E 1 und E 2 Ereignisse eines Zufallsversuchs. Die Wahrscheinlichkeit für E 1 unter der voraussetzung, dass E 2 eintritt, nennt man bedingte Wahrscheinlichkeit von e 1 unter der Bedingung e 2 und bezeichnet sie mit P(e 1 ‡ e 2 ) . Das Symbol P(E 1 ‡ E 2 ) kann auf verschiedene Arten gelesen werden: „Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der Bedingung E 2 “ „Wahrscheinlichkeit von E 1 unter der voraussetzung E 2 “ „Wahrscheinlichkeit von E 1 , falls E 2 “ „Wahrscheinlichkeit von E 1 , wenn E 2 “ Bedingte Wahrscheinlichkeiten sind nichts Neues. Weil jede Wahrscheinlichkeit vom Informations- stand abhängt, dh. von gewissen vorausgesetzten Ereignissen, kann man jede Wahrscheinlichkeit als eine bedingte Wahrscheinlichkeit auffassen. Die dem Ereignis E vorausgesetzten Ereignisse werden allerdings häufig nicht explizit angegeben. Man schreibt deshalb auch nur P(E). Manchmal möchte man jedoch ein dem Ereignis E 1 vorausgesetztes Ereignis E 2 explizit hervor- heben und schreibt dann P(E 1 ‡ E 2 ). L Frauen Männer Gesamt Abteilung A 201 189 390 Abteilung B 98 140 238 Gesamt 299 329 628 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv