Mathematik verstehen 6, Schulbuch

248 13 Wahrscheinl ichkei ten auFgaben 13 . 25 Gib ein sicheres Ereignis und ein unmögliches Ereignis bei folgendem Zufallsversuch an! a) Wurf einer Münze b) Wurf eines Würfels c) Drehen eines Rouletterads 13 . 26 Gib das Gegenereignis ¬E zum Ereignis E beim Wurf eines Würfels an! Ermittle P(E) und P(¬E)! a) E: Es kommt eine gerade Zahl. c) E: Es kommt eine Primzahl. b) E: Es kommt 1 oder 2. d) E: Es kommt eine ungerade Primzahl. Wettquotienten Beispiel 1 : Wir betrachten das Ereignis E: Spanien wird nächster Europameister im Fußball. Felix schließt mit Luca eine Wette ab. Felix wettet auf das Eintreten von E, Luca auf das Nichteintreten von E. Jeder setzt nach eigenem Ermessen einen Geldbetrag ein, der Gewinner erhält den gesamten Einsatz. Wenn Felix glaubt, dass die Ereignisse E und ¬E gleich wahrscheinlich sind, wird er sich auf die Wette einlassen, wenn die Einsätze gleich sind. Wenn er aber glaubt, dass sich P(E) zu P(¬E) wie a zu b verhält, wird er sich auf die Wette nur einlassen, wenn sich sein Einsatz zum Einsatz von Luca ebenfalls wie a : b verhält. Definition Es sei E ein Ereignis. Gilt P(E) : P(¬E) = a : b, so sagt man: Die Chancen für das eintreten des ereignisses e stehen wie a zu b . Das verhältnis P(E) : P(¬E) bezeichnet man als Wettquotient ( Chancenverhältnis , engl. odds ). 13 . 27 Zeige: Aus dem Wettquotienten kann man P(E) berechnen und umgekehrt. lösung: Wir setzen zur Abkürzung P(E) = p. 1) P(E) : P(¬E) = a : b w p : (1 – p) = a : b w p = ​ a _ a + b ​ 2) P(E) = p w P(E) : P(¬E) = p : (1 – p) c Beispiel 2 : Luca besucht ein Pferderennen und wettet auf den Sieg des Pferdes „Blacky“. Wettbüros legen ihre Wettquotienten vor Wettschluss fest. Sie kommen dazu u. a. aufgrund ihrer subjektiven Sachkenntnisse über die konkurrierenden Pferde sowie deren aktuelle verfassung, vergangene Erfolge etc. Wird beispielsweise der Wettquotient für den Sieg von Blacky mit 5 : 3 festgelegt, dann erhöht das Wettbüro Lucas Einsatz um ​ 3 _ 5 ​seines Wertes. Gewinnt Blacky, erhält Luca den gesamten Betrag. verliert Blacky, verliert Luca seinen Einsatz. Setzt Luca zum Beispiel 500€ ein und gewinnt Blacky, dann beträgt der Auszahlungsbetrag 500 + ​ 3 _ 5 ​· 500 = ​ 2 1 + ​ 3 _ 5 ​ 3 ​= 1,6 · 500 = 800. Man bezeichnet den Faktor 1,6 als Bruttogewinnquote . Diese wird oft anstelle des Wettquotienten angegeben. auFgaben 13 . 28 Ein Pessimist glaubt, dass die Chancen für das Überleben der Menschheit wie 1 : 2 stehen. Welche Wahrscheinlichkeit schreibt er dem Überleben der Menschheit zu? 13 . 29 Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses E sei a) ​ 5 _ 9 ​, b) 0,85, c) ​ m _ n ​. Wie stehen die Chancen für das Eintreten von E? 13 . 30 Anna wettet mit Berta, dass sie die nächste Mathematikprüfung bestehen wird. Sie glaubt, dass dieses Ereignis mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 eintreten wird. Auf welches verhältnis der Wett- einsätze soll sie sich einlassen? R L L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv