Mathematik verstehen 6, Schulbuch

247 13 . 2 ereignisse und Wahrscheinl ichkei ten Unmögliche und sichere ereignisse 13 . 24 Ein Würfel wird geworfen. Ermittle die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses: 1) E 1 : Es kommt die Augenzahl 7. 2) E 2 : Es kommt eine der Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6. lösung: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 1) P(E 1 ) = † M(E 1 ) † _ †Ω† = † { } † _ †Ω† = 0 _ 6 = 0 2) P(E 2 ) = † M(E 2 ) † _ †Ω† = †Ω† _ †Ω† = 1 Man bezeichnet E 1 als unmögliches ereignis und E 2 als sicheres ereignis . Definition Ein unmögliches ereignis ist ein Ereignis, das bei keiner versuchsdurchführung eintreten kann. Ein sicheres ereignis ist ein Ereignis, das bei jeder versuchsdurchführung eintritt. Wie in Aufgabe 13.24 kann man allgemein zeigen: satz Ist E ein unmögliches ereignis , dann ist P(e) = 0 . Ist E ein sicheres ereignis , dann ist P(e) = 1 . gegenereignis, verknüpfungen von ereignissen Aus gegebenen Ereignissen kann man neue Ereignisse bilden: Definition: Es seien E, E 1 und E 2 Ereignisse eines Zufallsversuchs. Das gegenereignis ¬e [sprich: nicht E] von E tritt genau bei jenen versuchsausgängen ein, bei denen das Ereignis e nicht eintritt. Das ereignis e 1 ? e 2 [sprich: E 1 und E 2 ] tritt genau dann ein, wenn sowohl das Ereignis E 1 als auch das Ereignis E 2 eintritt. Das ereignis e 1 = e 2 [sprich: E 1 oder E 2 ] tritt genau dann ein, wenn mindestens eines der Ereignisse E 1 bzw. E 2 eintritt. Beispiele für gegenereignisse: Münzwurf: ereignis e: Zahl gegenereignis ¬e: Kopf Würfel: ereignis e: Es kommt 6. gegenereignis ¬e: Es kommt nicht 6. roulette: ereignis e: Passe (dh. eine der Zahlen 19, 20, … , 36) gegenereignis ¬e: Null oder Manque (dh. eine der Zahlen 0, 1, 2, 3, … , 18) satz Ist E ein Ereignis, so gilt: P(¬e) = 1 – P(e) Begründung mit relativen anteilen: Sind n versuchsausgänge möglich, und k versuchsausgänge für E günstig, dann sind n – k versuchsausgänge für ¬E günstig Somit gilt: P(¬E) = n – k _ n = 1 – k _ n = 1 – P(E) c Begründung mit relativen häufigkeiten: Der versuch werde n-mal unter gleichen Bedingungen durchgeführt. Dabei trete das Ereignis E genau k-mal ein. Dann tritt das Gegenereignis ¬E genau (n – k)-mal ein. Somit gilt: P(¬E) ≈ h n (¬E) = n – k _ n = 1 – k _ n = 1 – h n (E) ≈ 1 – P(E) c R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv