Mathematik verstehen 6, Schulbuch

240 13 Wahrscheinl ichkei ten Eine Wahrscheinlichkeit eines ereignisses ist ein Maß für die erwartung, dass dieses ereignis eintritt. In der Mathematik drückt man den Grad der Erwartung durch eine reelle Zahl von 0 bis 1 aus, wobei 0 für die geringste und 1 für die höchste Erwartung steht. Wie kommt man zu einer zahl, die sich als Maß für eine erwartung eignet? Leider gibt es keine Methode, die in der Praxis stets sichere Wahrscheinlichkeitswerte liefert. Es gibt jedoch Methoden, mit denen man zumindest plausible Wahrscheinlichkeitswerte erhält. Methode 1: Wahrscheinlichkeit mittels relativen anteils festlegen 13 . 01 In der nebenstehenden Tabelle findet man die Anzahlen der Schülerinnen und Schüler in den Klassen 6a und 6b einer Schule. Aus jeder der beiden Klassen wird ein Klassenmitglied zufällig ausgewählt. In welcher der beiden Klassen ist es dabei wahrscheinlicher, ein Mädchen zu erhalten? lösung: Beim vergleich der beiden Klassen kommt es nicht auf die absoluten, sondern auf die relativen Anteile der Mädchen in der 6a bzw. 6b an. Je größer der relative Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern ist, desto wahrscheinlicher ist es, bei der Auswahl ein Mädchen zu erhalten. Es ist also plausibel, den relativen Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern als Maß für die gesuchte Wahrscheinlichkeit zu verwenden. Wir bezeichnen das Ereignis „Das ausgewählte Klassenmitglied ist ein Mädchen“ mit E und berechnen auf diese Weise: für die 6a: P(E) = relativer Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern = 13 _ 25 = 0,52 für die 6b: P(E) = relativer Anteil der Mädchen an allen Klassenmitgliedern = 11 _ 18 ≈ 0,61 Die Wahrscheinlichkeit, ein Mädchen zu erhalten, ist also in der 6b größer als in der 6a. Zur Abkürzung bezeichnen wir die Anzahl der Elemente einer endlichen Menge M mit † M † und können damit eine allgemeine Definition des relativen Anteils so anschreiben: Definition: Ist M eine endliche Menge und A a M, dann setzt man: relativer anteil von a in M = anzahl der elemente von a ____ anzahl der elemente von M = † a † _ † M † 13 . 02 In der nebenstehend abgebildeten Urne befinden sich weiße, schwarze und rote Kugeln. Eine Kugel wird zufällig gezogen. Wie wahrscheinlich ist es, 1) eine weiße, 2) eine schwarze, 3) eine rote Kugel zu erhalten? lösung: 1) Der relative Anteil der weißen Kugeln an allen Kugeln beträgt 5 _ 9 . Somit setzt man sinnvollerweise: P(Man erhält eine weiße Kugel) = 5 _ 9 2) Der relative Anteil der schwarzen Kugeln an allen Kugeln beträgt 3 _ 9 = 1 _ 3 . Somit setzt man sinnvollerweise: P(Man erhält eine schwarze Kugel) = 1 _ 3 3) Der relative Anteil der roten Kugeln an allen Kugeln beträgt 1 _ 9 . Somit setzt man sinnvollerweise: P(Man erhält eine rote Kugel) = 1 _ 9 R 6 a 6 b Knaben 12 7 Mädchen 13 11 Gesamt 25 18 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv