Mathematik verstehen 6, Schulbuch

24 1 Potenzen, Wurzeln und logari thmen exponentialgleichungen 1 .108 Für welche x * ℝ gilt näherungsweise 5 2x – 1 = 30? lösung: Wir logarithmieren die Gleichung, d. h. wir wenden auf beiden Seiten den Zehnerlogarithmus an. Anschließend benutzen wir eine Rechenregel für Logarithmen. 5 2x – 1 = 30 log 10 ( 5 2x – 1 ) = log 10 30 (2x – 1) · log 10 5 = log 10 30 2x – 1 = log 10 30 __ log 10 5 x = 1 _ 2 · 2 log 10 30 __ log 10 5 + 1 3 ≈ 1,5566 Probe: 5 (2 · 1,5566 – 1) ≈ 30 (genauer durch Abspeichern der Lösung x) Aufgaben 1 .109 Ermittle x näherungsweise! a) 3 x = 7 c) 2 x = 15 e) 5 x = 9 g) 10 x = 17 i) 8,2 x = 7,5 b) 25 3x = 98 d) 9 – 2x = 25 f) 2 4x – 5 = 19 h) 3,68 – x + 1 = 7,93 j) 0,25 2x – 1 = 5,68 1 .110 Drücke x durch die übrigen variablen aus! a) a = b cx c) u 2x + 1 = a _ b e) k 7 – x = m· n g) a _ b 2x = c 2 · d i) (a + 1) 2x = b _ c b) (8m) x – 1 = n 2 d) z (x 2 ) = a + b 2 · c 3 f) K = K o · r x h) N = N o · b 2x j) A = R · (1 – a – x ) logarithmische Skalen Bisher haben wir eine Zahlengerade stets mit einer so genannten äquidistanten Skala versehen. Dabei wird jeweils die Zahl x im Abstand † x † vom Anfangspunkt der Skala (Nullpunkt) aufge- tragen und zwar nach links für x < 0 und nach rechts für x > 0. Für positive Zahlen x ist es jedoch manchmal vorteilhaft, eine so genannte logarithmische Skala zu verwenden. Dabei wird jeweils die Zahl x > 0 im Abstand † log 10 x † vom Anfangspunkt der Skala aufgetragen. Der Anfangspunkt einer solchen Skala wird mit 1 beschriftet, da log 10 1 = 0 ist. Logarithmische Skalen werden u. a. verwendet, um große Zahlenbereiche darstellen zu können. In der folgenden Abbildung sind beispielsweise die Wellenlängen des Spektrums mit einer loga- rithmischen Skala dargestellt. Bei verwendung einer äquidistanten Skala könnte man nicht alle Wellenlängen auf dem zur verfügung stehenden Raum übersichtlich darstellen. Einzelne Berei- che des Spektrums würden zu Strichen zusammenschrumpfen. R kompakt Seite 26 R L Rot Orange Gelb Grün Blau violett 700 Wechsel- ströme Rundfunk Radar Infrarot- strahlen Röntgen- strahlen Gamma- strahlen Ultra- violett- strahlen Sichtbares Spektrum 600 500 Wellenlänge in Nanometer Wellenlänge in Meter 400 10 8 10 6 10 4 10 2 1 10 – 2 10 – 4 10 – 6 10 – 8 10 – 10 10 – 12 10 – 14 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv