Mathematik verstehen 6, Schulbuch

229 12 . 5 Wei tere arten der Mi ttelwertbi ldung geometrisches Mittel 12 . 51 In einer Bakterienkultur befinden sich zu Beginn 20000 Bakterien. Die Bakterienanzahl nimmt in der ersten Stunde um 50%, in der zweiten Stunde um 40%, in der dritten Stunde um 30%, in der vierten Stunde um 20% und in der fünften Stunde um 10% zu. Mit welchem Faktor bzw. um wie viel Prozent ist die Bakterienanzahl in diesen fünf Stunden im Mittel pro Stunde gestiegen? lösung: Wir bezeichnen den mittleren Wachstumsfaktor pro Stunde mit q. Dann gilt nach 5 Stunden: 20000 · 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 = 20 000 · q 5 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 = q 5 q = 5 9 ___________ 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 ≈ 1,292 Die Bakterienzahl ist also in diesen fünf Stunden im Mittel ca. mit dem Faktor 1,292 pro Stunde bzw. um ca. 29,2% pro Stunde gestiegen. Entspricht der ermittelte Wert q ≈ 1,292 dem arithmetischen Mittel der Wachstumsfaktoren in den einzelnen Stunden? Entspricht der ermittelte Wachstumsprozentsatz von ca. 29,2% pro Stunde dem arithmetischen Mittel der Wachstumsprozentsätze in den einzelnen Stunden? Wir überprüfen dies: 1,5 + 1,4 + 1,3 + 1,2 + 1,1 ____ 5 = 1,3 ≠ 1,292 50% + 40% + 30% + 20% + 10% _____ 5 = 30% ≠ 29,2% Man sieht also, dass weder das arithmetische Mittel der Wachstumsfaktoren noch das arithmeti- sche Mittel der Wachstumsprozentsätze zum korrekten Ergebnis führen. Man bezeichnet die Zahl q = 5 9 ___________ 1,5 · 1,4 · 1,3 · 1,2 · 1,1 als geometrisches Mittel der Zahlen 1,5; 1,4; 1,3; 1,2 und 1,1. Allgemein ist das geometrische Mittel so definiert: Definition Die Zahl n 9 ________ a 1 · a 2 ·…· a n heißt geometrisches Mittel der positiven zahlen a 1 , a 2 , …, a n . Merke Mittlere Änderungsfaktoren (Wachstums- und Abnahmefaktoren, Zinsfaktoren usw.) berechne mithilfe des geometrischen Mittels ! 12 . 52 Zeige: Das geometrische Mittel zweier Zahlen a, b * ℝ + ist stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel dieser beiden Zahlen. lösung: Zu zeigen ist: 9 ___ a · b ª a + b _ 2 9 ___ a · b ª a + b _ 2 É 2 9 ___ a · b ª a + b É 4ab ª (a + b) 2 É 4ab ª a 2 + 2ab + b 2 É É 0 ª a 2 – 2ab + b 2 É 0 ª (a – b) 2 Da die letzte Ungleichung für alle a, b * ℝ + wahr ist, ist auch die erste Ungleichung für alle a, b * ℝ + wahr, womit die Behauptung bewiesen ist. Wir erkennen übrigens noch mehr: Das geometrische Mittel von a und b ist genau dann gleich dem arithmetischen Mittel von a und b, wenn a = b ist. Man kann allgemein zeigen, dass das geometrische Mittel von n positiven Zahlen a 1 , a 2 , …, a n stets kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel a 1 + a 2 + … + a n ___ n ist, wobei Gleichheit genau dann eintritt, wenn a 1 = a 2 = … = a n ist. Wir führen den Beweis nicht durch. L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv