Mathematik verstehen 6, Schulbuch

228 12 Beschreibende stat ist ik 12 . 5 Weitere arten der Mittelwertbildung gewichtetes arithmetisches Mittel In der Darstellung _ x = h 1 · a 1 + h 2 · a 2 + … + h k · a k (mit h 1 + h 2 + … + h k = 1) bezeichnet man _ x auch als gewichtetes (bzw. gewogenes ) arithmetisches Mittel der Werte a 1 , a 2 , …, a k mit den gewichtszahlen h 1 , h 2 , …, h k . Allgemein ist dieses Mittel so definiert: Definition Eine Zahl der Form _ x g = g 1 · a 1 + g 2 · a 2 + … + g k · a k (mit g 1 + g 2 + … + g k = 1 und g i º 0) bezeichnet man als gewichtetes ( gewogenes ) arithmetisches Mittel der Zahlen a 1 , a 2 , …, a k mit den gewichtszahlen g 1 , g 2 , …, g k . Die Gewichtszahl g i gibt den relativen Anteil an, den der Wert a i zu _ x g beiträgt. Je größer g i ist, desto mehr trägt a i zum Wert von _ x g bei (desto größeres „Gewicht“ hat also a i ). Im Fall _ x = h 1 · a 1 + h 2 · a 2 + … + h k · a k sind die Gewichtszahlen relative Häufigkeiten. Die Gewichtszahlen können aber auch andere Bedeutungen haben oder sogar willkürlich festgelegt werden, wie man an den folgenden Aufgaben sieht. 12 . 47 Ein Farbenhändler mischt drei Sorten farbloser Lacke zu einer Mischung zusammen. Die Prozentanteile der drei Sorten in der Mischung und die Literpreise der Sorten sind in der Tabelle angegeben. Welchen Preis soll der Händler für einen Liter der Mischung verlangen? lösung: Klarerweise soll ein Liter der Mischung so viel kosten wie die zur Herstellung benötigten Bestandteile zusammen. Der Preis p für einen Liter der Mischung setzt sich daher so zusammen: p = 0,6 · 52 + 0,3 · 57 + 0,1 · 60 = 54,30 (€) Der Händler wird p somit als gewichtetes arithmetisches Mittel der Einzelpreise festlegen. Die Gewichtszahlen sind die relativen Anteile der einzelnen Sorten an einem Liter der Mischung. 12 . 48 Ein Aufnahmetest erfolgt schriftlich und mündlich. Der für die Aufnahme verantwortliche ist jedoch der Meinung, dass das Ergebnis des schriftlichen Tests zu 70% und das Ergebnis des mündlichen Tests zu 30% zur Gesamtpunktezahl beitragen soll. Ein Kandidat erhält schriftlich vier Punkte und mündlich einen Punkt. Welche Gesamtpunktezahl erhält er? lösung: Die Gesamtpunktezahl wird als gewichtetes arithmetisches Mittel der bei der schriftlichen und mündlichen Prüfung erreichten Punktezahlen berechnet: Gesamtpunktezahl = 0,7 · 4 + 0,3 · 1 = 3,1 auFgaben 12 . 49 Bei einer Schularbeit in einer Klasse erhalten 10% der Schüler ein Sehr gut, 20% ein Gut, 50% ein Befriedigend, 10% ein Genügend und 10% ein Nicht genügend. Berechne den Notendurchschnitt bei dieser Schularbeit! 12 . 50 Ein Süßwarenhersteller erzeugt Pralinen der Sorten A und B zu 3€/Stück bzw. 6€/Stück. In einem Geschenkkarton befindet sich doppelt so viel von der Sorte B wie von der Sorte A. Wie hoch ist der durchschnittliche Preis pro Praline im Geschenkkarton? R Sorte Anteil in Prozent Preis pro Liter (in €) I 60% 52,00 II 30% 57,00 III 10% 60,00 R Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv