Mathematik verstehen 6, Schulbuch

223 12 . 3 �� 12 . 36 Bei der Berechnung der Mittelwerte zweier vorgegebener Zahlenlisten erhält man jeweils den Wert 9. Die Standardabweichung der ersten Liste beträgt 1, die der zweiten Liste 2. Welche der folgenden Aussagen sind mit Sicherheit richtig? Kreuze an! Beide Listen haben den gleichen Median. c Die zweite Liste ist breiter gestreut als die erste. c Die zweite Liste ist doppelt so lang wie die erste. c Die varianz der zweiten Liste ist viermal so groß wie die der ersten. c Bei der ersten Liste liegt keine Zahl außerhalb des Intervalls [7; 11]. c 12 . 37 Eine Maschine produziert Schrauben mit der Solllänge von 40mm. Um zu prüfen, ob die Maschine zufriedenstellend arbeitet, wird der Produktion eine Stichprobe entnommen. Die dabei gemessenen Schraubenlängen (in mm) lauten: 39, 39, 37, 38, 39, 39, 41, 39, 39, 39, 39, 40, 41, 38, 39, 37, 37, 38, 39, 40 1) Berechne den Mittelwert und die Standardabweichung der Liste! 2) Ermittle Schätzwerte für den Mittelwert und die Standardabweichung der Schraubenlängen in der Grundgesamtheit aller mit dieser Maschine produzierten Schrauben! 12 . 38 Die Firma „Bonafrutta“ befüllt Marmeladegläser mit einer Sollmasse von 500g. Bei 15 zufällig ausgewählten Gläsern wurden die folgenden Füllmengen (in g) festgestellt: 509, 499, 489, 503, 510, 500, 495, 503, 509, 498, 478, 504, 509, 504, 498 1) Ermittle Schätzwerte für die mittlere Füllmenge und die Standardabweichung in der Grundgesamtheit aller von der Firma befüllten Gläser! 2) Um wie viel Prozent weicht die mittlere Füllmenge in der Grundgesamtheit vermutlich von der Sollmenge ab? Geht diese Abweichung zu Lasten des Konsumenten oder des Herstellers? Datenveränderungen satz: Gegeben sind zwei Listen von Zahlen: x 1 , x 2 , …, x n mit dem arithmetischen Mittel _ xund der empirischen Standardabweichung s x y 1 , y 2 , …, y n mit dem arithmetischen Mittel _ yund der empirischen Standardabweichung s y a) Ist y i = x i + c für i = 1, 2, …, n, dann ist _ y = _ x+ c und s y = s x . b) Ist y i = c · x i für i = 1, 2, …, n, dann ist _ y = c · _ x und s y = c · s x . Beweis : a) _ y = y 1 + y 2 + … + y n ___ n = x 1 + c + x 2 + c + … + x n + c ____ n = x 1 + x 2 + … + x n + n · c ____ n = x 1 + x 2 + … + x n ___ n + c = _ x+ c s y = 9 __________ (y 1 – _ y) 2 + … + (y n – _ y) 2 ____ n = 9 __________________ [(x 1 + c) – ( _ x+ c)] 2 + … + [(x n + c) – ( x+ c)] 2 ______ n = 9 __________ (x 1 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 ____ n = s x b) _ y = y 1 + y 2 + … + y n ___ n = c · x 1 + c · x 2 + … + c · x n ____ n = c · x 1 + x 2 + … + x n ___ n = c · _ x s y = 9 __________ (y 1 – _ y) 2 + … + (y n – _ y) 2 ____ n = 9 _______________ (c · x 1 – c · _ x) 2 + … + (c · x n – c · _ x) 2 _____ n = 9 _____________ c 2 · (x 1 – _ x) 2 + … + c 2 · (x n – _ x) 2 _____ n = = c · 9 __________ (x 1 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 ____ n = c · s x c auFgaben 12 . 39 Wie ändern sich Mittelwert und empirische Standardabweichung einer in € angegebenen Preisliste, wenn alle Preise a) um 1€ erhöht werden, b) in Cent angegeben werden? R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv