Mathematik verstehen 6, Schulbuch

220 12 Beschreibende stat ist ik 12 . 3 streuungsmasse empirische varianz und standardabweichung In Abb. 12.1 a, b sind zwei Häufigkeitsverteilungen mit gleichem Mittelwert _ xdargestellt. Während sich in Abb. 12.1 a die Daten relativ eng um das arithmetische Mittel _ xgruppieren, weichen sie in Abb. 12.1 b dem Anschein nach durchschnittlich stärker von _ xab. Man sagt: Die Streuung der Daten um den Mittelwert ist in Abb. 12.1 b größer als in Abb. 12.1 a. Abb. 12.1 a Abb. 12.1 b Wie kann man das Ausmaß der Streuung der Daten x 1 , x 2 , … , x n um _ xzahlenmäßig erfassen? Eine nahe liegende Idee ist, den Mittelwert der Abweichungen der Daten von _ xanzugeben: (x 1 – _ x) + (x 2 – _ x) + … + (x n – _ x) _____ n Dieser Term ist aber als Streuungsmaß nicht geeignet, denn er liefert stets den Wert 0: (x 1 – _ x) + (x 2 – _ x) + … + (x n – _ x) _____ n = x 1 + x 2 + … + x n – n · _ x ____ n = x 1 + x 2 + … + x n ___ n – _ x = _ x– _ x = 0 Um zu verhindern, dass positive und negative Abweichungen vom Mittelwert einander aufheben, kann man die Abweichungen durch deren (nicht negative) Quadrate ersetzen und erhält damit den „Mittelwert der Abweichungsquadrate“: (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n Dieser Ausdruck ist als Streuungsmaß geeignet, denn jeder variablenwert trägt umso mehr zur Streuung bei, je mehr er sich vom Mittelwert unterscheidet. Der Mittelwert der Abweichungsquadrate hat jedoch einen praktischen Nachteil. Werden die Daten x 1 , x 2 , …, x n zum Beispiel in der Einheit Meter gemessen, werden die Abweichungs quadrate in Quadratmeter gemessen und damit erhält der Mittelwert der Abweichungsquadrate ebenfalls die Einheit Quadratmeter. Um zu erreichen, dass das Streuungsmaß in der gleichen Einheit Meter gemessen wird wie die einzelnen Daten, zieht man die Wurzel aus dem Mittelwert der Abweichungsquadrate und erhält damit die folgenden Begriffe: Definition Es sei x 1 , x 2 , …, x n eine Liste von reellen Zahlen mit dem Mittelwert _ x. Man nennt s 2 = (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n die empirische varianz der Liste, s = 9 _______________ (x 1 – _ x) 2 + (x 2 – _ x) 2 + … + (x n – _ x) 2 _____ n die empirische standardabweichung der Liste. 12 . 30 Berechne den Mittelwert, die empirische varianz und die empirische Standardabweichung der Liste 3, 1, 2, 5, 4! lösung: _ x = 3 + 1 + 2 + 5 + 4 ___ 5 = 15 _ 5 = 3 s 2 = (3 – 3) 2 + (1 – 3) 2 + (2 – 3) 2 + (5 – 3) 2 + (4 – 3) 2 _______ 5 = 0 + 4 + 1 + 4 + 1 ___ 5 = 10 _ 5 = 2 s = 9 _ 2 ≈ 1,41 R x x + s x – s 0 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x i h(x i ) x x + s x – s 0 5 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x i h(x i ) kompakt seite 232 Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv