Mathematik verstehen 6, Schulbuch

22 1 Potenzen, Wurzeln und logari thmen 1 . 6 logarithmen Der Begriff des logarithmus 1 . 97 Mit welcher Hochzahl muss 10 potenziert werden, um a) 100, b) 0,001 zu erhalten? lösung: a) mit 2, denn 10 2 = 100 b) mit – 3, denn 10 – 3 = 1 _ 10 3 = 0,001 Definition Seien a, b * ℝ + und a ≠ 1. Die Hochzahl, mit der man a potenzieren muss, um b zu erhalten, heißt logarithmus zur Basis a von b und wird mit log a b bezeichnet. Die Zahl b wird in diesem Zusammenhang auch als Numerus (lat. = Zahl) bezeichnet. Es gilt somit: a log a b = b bzw. Basis logarithmus = Numerus Setzt man log a b = x, erhält man: log a b = x É a x = b 122222232222225 1222232225 logarithmische Darstellung exponentielle Darstellung Ein und derselbe Sachverhalt kann also auf zwei verschiedene Arten angeschrieben werden. Bemerkung: Man kann zeigen, dass die Gleichung a x = b (mit a, b * ℝ + und a ≠ 1) genau eine Lösung x besitzt. Deshalb ist log a b eindeutig bestimmt. Für a = 1 hat diese Gleichung aber nicht immer eine Lösung (z.B. ist 1 x = 2 nicht lösbar). Daher ist log a b für a = 1 nicht definiert. 1 . 98 Berechne: a) log 2 8 b) log 3 81 c) log 10 0,01 d) log 2 0,125 lösung: a) 1 . lösungsmögl ichkei t : log 2 8 = x É 2 x = 8 É x = 3. Also ist log 2 8 = 3. 2 . lösungsmögl ichkei t : Mit welcher Hochzahl muss die Basis 2 potenziert werden, um den Numerus 8 zu erhalten? Offensichtlich mit 3. Also ist log 2 8 = 3. b) log 3 81 = x É 3 x = 81 É x = 4. Also ist log 3 81 = 4. c) log 10 0,01 = x É 10 x = 0,01 É x = – 2. Also ist log 10 0,01 = – 2. d) log 2 1 _ 8 = x É 2 x = 1 _ 8 É x = – 3. Also ist log 2 1 _ 8 = – 3. logarithmen zur Basis 10 heißen zehnerlogarithmen bzw. dekadische logarithmen und werden mit log 10 b oder kurz logb bezeichnet. Aufgaben 1 . 99 Ordne jeder logarithmischen Darstellung in der linken Tabelle die zugehörige exponentielle Darstellung aus der rechten Tabelle zu! R kompakt Seite 26 R log u v = w A u v = w log u w = v B u w = v log v u = w C v w = u log w v = u D v u = w E w u = v F w v = u Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv