Mathematik verstehen 6, Schulbuch

198 10 geraden und eBenen im raum 10 . 7 zum sinn der analYtischen geometrie Die „analytische Geometrie“ (eine verbindung von Geometrie und Algebra) geht im Wesentlichen auf rené Descartes (1596–1650) zurück. Descartes erkannte, dass man Sachverhalte der ebenen (räumlichen) Geometrie mit hilfe von Zahlenpaaren (Zahlentripeln) beschreiben kann. Dazu einige Beispiele: ebene R 2 objekte: Punkt P É Zahlenpaar (p 1 1 p 2 ) Pfeil É Zahlenpaar (a 1 1 a 2 ) Pfeil von P nach Q É Zahlenpaar ​ ​ _ À PQ​ Pfeil auf einer Geraden g É Richtungsvektor ​ ​ _ À g​ Mengen: ​ [ ​ Gerade durch P mit vorgegebener Richtung ​ ​ É {x * R 2 ‡ x = P + t · ​ ​ _ À g​} ​ [ ​ Gerade durch P mit vorgegegebener Normalenrichtung ​ ​ É {x * R 2 ‡ ​ ​ _ À n​· x = ​ ​ _ À n​· P} Rechteck É {(x 1 y) * R 2 ‡ a ª x ª b ? c ª y ª d} Beziehungen: M ist Mittelpunkt der Strecke AB É M = ​ 1 _ 2 ​· (A + B) g u h É ​ ​ _ À g​= r · ​ ​ _ À h​(mit r * R *) g © h É ​ ​ _ À g​· ​ ​ _ À h​= 0 Q * g É Q = P + t · ​ ​ _ À g​ oder ​ ​ _ À n​· Q = ​ ​ _ À n​· P Durch derartige Zuordnungen ist es möglich, ein geometrisches Problem der Ebene bzw. des Raums in ein algebraisches Problem in R 2 bzw. R 3 zu übersetzen, dieses mit algebraischen Methoden zu lösen und das Ergebnis wieder geometrisch zu deuten (siehe Abb. 10.2a). Beispiel : Es soll der Schnittpunkt zweier Geraden in der Ebene ermittelt werden. Man beschreibt die beiden Geraden durch lineare Gleichungen, löst das erhaltene Gleichungssystem und interpretiert das dabei erhaltene Zahlenpaar als Schnittpunkt der Geraden. Manchmal geht man auch umgekehrt vor: Um ein algebraisches Problem zu lösen, übersetzt man es in ein geometrisches Problem, löst dieses mit geometrischen Methoden und interpretiert die Lösung wieder algebraisch (siehe Abb. 10.2b). Beispiel : Es sollen die möglichen Lösungen eines linearen Gleichungssystems aus zwei Gleichungen in zwei Unbekannten ermittelt werden. Man interpretiert die beiden Gleichungen als Geraden in der Ebene und überlegt sich auf geometrischem Wege, dass die beiden Geraden keinen, genau einen Schnittpunkt oder unendlich viele Schnittpunkte haben. Das Ergebnis wird wieder algebraisch interpretiert: Das Gleichungssystem hat keine, genau eine Lösung oder unendlich viele Lösungen. Abb. 10.2a Abb. 10.2b algebraisches Problem algebraische Lösung geometrisches Problem Geometrie (Ebene, Raum) Algebra ( ℝ 2 , ℝ 3 ) geometrische Lösung algebraisches Problem algebraische Lösung geometrisches Problem Geometrie (Ebene, Raum) Algebra ( ℝ 2 , ℝ 3 ) geometrische Lösung Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv