Mathematik verstehen 6, Schulbuch

197 10 . 6 aBstÄnde im raum 3. Möglichkeit: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A * g. Der gesuchte Abstand d ist gleichzeitig höhe des von ​ ​ _ À a​= ​ ​ _ À AP​und dem Richtungsvektor ​ ​ _ À g​der Geraden aufgespannten Parallelogramms. Der Flächeninhalt dieses Parallelogramms ist sowohl durch †​ ​ _ À g​ † · d als auch durch †​ ​ _ À a​× ​ ​ _ À g​ † gegeben. Aus †​ ​ _ À g​ † · d = †​ ​ _ À a​× ​ ​ _ À g​ † folgt: d = ​ †​ ​ _ À a​× ​ ​ _ À g​ † _ †​ ​ _ À g​ † ​ abstand zweier paralleler geraden Man ermittelt einen Punkt P auf einer der beiden Geraden und berechnet den Abstand d dieses Punktes von der anderen Geraden. abstand zweier windschiefer geraden Den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h kann man folgendermaßen berechnen (siehe nebenstehende Abbildung): Man ermittelt eine Gleichung einer zu h parallelen Ebene E, die g enthält. (Richtungsvektoren ​ ​ _ À g​und ​ ​ _ À h​von g bzw. h sind auch Richtungsvektoren von E und somit ist ​ ​ _ À g​× ​ ​ _ À h​ein Normalvektor von E). Dann ermittelt man einen beliebigen Punkt P auf h und berechnet den Abstand dieses Punktes von E. auFgaBen 10 . 34 Berechne den Abstand des Punktes P von der Ebene E! a) P = (2 1 –7 1 18), E: 2x – y – 2z = 2 b) P = (15 1 – 2 1 7), E: 6x – 3y + 2z = 12 10 . 35 Zeige, dass die Ebenen E 1 und E 2 parallel sind und ermittle ihren Abstand! a) E 1 = {x * R 3 ‡ x = (–1 1 4 1 6) + u · (1 1 4 1 4) + v · (1 1 0 1 0) ? u, v * R} , E 2 : y – z = 3 b) E 1 = ABC mit A = (–1 1 4 1 6), B = (1 1 3 1 7), C = (5 1 2 1 12), E 2 : 2x + 3y – z = 3 10 . 36 Zeige, dass die Gerade g parallel zur Ebene E ist und ermittle den Abstand von g und E! g: x = (– 2 1 3 1 – 5) + t · (3 1 2 1 1), E: x – y – z = 4 10 . 37 Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g! a) P = (–4 1 3 1 –2), g: X = (7 1 11 1 9) + t · (1 1 –2 1 –2) c) P = (1 1 5 1 3), g: x = (13 1 6 1 5) + t · (3 1 2 1 – 2) b) P = (5 1 7 1 20), g: x = (3 1 5 1 – 6) + t · (– 5 1 4 1 7) d) P = (2 1 7 1 3), g: x = (– 8 1 – 2 1 4) + t · (4 1 3 1 6) 10 . 38 Zeige, dass die Geraden g und h parallel sind und berechne ihren Abstand! a) g: x = (0 1 1 1 1) + s · (2 1 –1 1 2), h: x = (–1 1 1 1 – 2) + t · (– 2 1 1 1 – 2) b) g: x = (1 1 1 1 –1) + s · (1 1 – 3 1 3), h: x = (2 1 – 2 1 –2) + t · (–1 1 3 1 – 3) 10 . 39 Berechne den Abstand der windschiefen Geraden g und h! a) g: x = (5 1 – 2 1 8) + s · (1 1 –1 1 4), h: x = (2 1 3 1 7) + t · (– 2 1 1 1 0) b) g: x = (9 1 – 5 1 – 3) + s · (2 1 4 1 15), h: x = (5 1 15 1 2) + t · (4 1 1 1 9) c) g: x = (–1 1 –1 1 5) + s · (–1 1 5 1 8), h: x = (9 1 6 1 12) + t · (5 1 – 4 1 2) d) g: x = (3 1 2 1 1) + s · (8 1 3 1 3), h: x = (1 1 –1 1 –7) + t · (0 1 –1 1 3) P d g A g a L P d L P g d h h h g E L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv