Mathematik verstehen 6, Schulbuch

196 10 geraden und eBenen im raum 10 . 6 aBstÄnde im raum abstand eines Punktes von einer ebene Die hesse’sche Abstandsformel erlaubt uns, in der Ebene den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g zu berechnen (siehe Mathematik verstehen 5, Seite 263). Im Raum kann diese Formel dazu verwendet werden, den Abstand eines Punktes P von einer Ebene E zu berechnen. Die herleitung der Formel erfolgt wie in R 2 . Man ermittelt einen beliebigen Punkt A in E und einen Normalvektor ​ ​ _ À n​von E. Der gesuchte Abstand d ist gleich dem Betrag der Normalprojektion des vektors ​ ​ _ À AP​auf ​ ​ _ À n​, also: d = ​ ​ † ​ ​ _ À AP​· ​ ​ _ À n​ † ​ _ ​ † ​ ​ _ À n​ † ​ ​ satz (Hesse’sche abstandsformel in ​ ℝ ​ 3 ​) Sei P * R 3 , E eine Ebene in R 3 mit dem Normalvektor ​ ​ _ À n​und A ein beliebiger Punkt von E. Dann gilt für den Abstand d des Punktes P von der Ebene E: d = ​ ​ † ​ ​ _ À aP​· ​ ​ _ À n​ † ​ __ ​ † ​ ​ _ À n​ † ​ ​ Eine zweite Möglichkeit für die Berechnung des Abstands besteht darin, eine Parameter- darstellung der auf die Ebene E normalen Geraden durch den Punkt P aufzustellen und den Schnittpunkt S dieser Geraden mit E zu bestimmen. Dann ist d = ​ _ PS​. abstand zweier paralleler ebenen Den Abstand d zweier paralleler Ebenen E 1 und E 2 kann man so berechnen: Man ermittelt einen beliebigen Punkt P von E 1 und berechnet den Abstand dieses Punktes von der Ebene E 2 . abstand einer ebene von einer Parallelgeraden Gegeben ist eine Ebene E und eine zu E parallele Gerade g. Den Abstand d der Geraden g von der Ebene E kann man folgenderma- ßen berechnen: Da alle Punkte auf g den gleichen Abstand von E haben, ermittelt man einen beliebigen Punkt P auf g und berechnet den Abstand dieses Punktes von E. abstand eines Punktes von einer geraden Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden g kann im Raum auf verschiedene Weisen ermittelt werden. 1. Möglichkeit: Man legt eine zu g normale Ebene E durch P und berechnet den Schnittpunkt S von E und g. Dann ist d = ​ _ PS​. 2. Möglichkeit: Man ermittelt einen beliebigen Punkt A * g, berechnet den vektor ​ ​ _ À a​= ​ ​ _ À AP​und den Betrag †​ ​ _ À a​ g ​ † der Normalprojektion von ​ ​ _ À a​auf einen Richtungsvektor ​ ​ _ À g​von g. Nach dem pythagoräischen Lehrsatz gilt dann: d = ​ 9 ______ †​ ​ _ À a​ † ​ 2 ​– †​ ​ _ À a​ g ​ † ​ 2 ​ ​ L Ó applet 2rt46v E A P d S n L P d Q E 2 E 1 L P g d E Q L P d S E g P d g A a g g a Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv