Mathematik verstehen 6, Schulbuch

193 10 . 5 lagen von drei eBenen; l ineare gleichungssYsteme in drei variaBlen 10 . 5 lagen von drei eBenen; lineare gleichungssYsteme in drei variaBlen gegenseitige lage und schnitt dreier ebenen Gegeben sind drei Ebenen: ​E​ 1 ​: ​a​ 1 ​x + ​a​ 2​ ​y + ​a​ 3​ ​z = ​a​ 0​ ​ ​E​ 2​ ​: ​b​ 1​ ​x + ​b​ 2​ ​y + ​b​ 3​ ​z = ​b​ 0​ ​ ​E​ 3​ ​: ​c​ 1​ ​x + ​c​ 2​ ​y + ​c​ 3​ ​z = ​c​ 0​ ​ Wir setzen voraus, dass keine zwei dieser Ebenen zusammenfallen. Dann gibt es für die gegenseitige Lage der drei Ebenen folgende Möglichkeiten: Fall 1: Keine zwei der drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1 a, b, c). Fall 2: Genau zwei der drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1d). Fall 3: Alle drei Ebenen sind zueinander parallel (Abb. 10.1 e). E 1 ° E 2 ° E 3 = {S} E 1 ° E 2 ° E 3 = g E 1 ° E 2 ° E 3 = ¿ Abb. 10.1 a Abb. 10.1 b Abb. 10.1 c E 1 ° E 2 ° E 3 = ¿ E 1 ° E 2 ° E 3 = ¿ Abb. 10.1 d Abb. 10.1 e Welche Fälle auftreten können, wenn einige der drei Ebenen zusammenfallen, zeigt die folgende Aufgabe. 10 . 29 Welcher Art ist der Durchschnitt E 1 ° E 2 ° E 3 , wenn a) in Abb. 10.1 d die Ebenen E 1 und E 2 zusammenfallen, b) in Abb. 10.1 e die Ebenen E 1 und E 2 zusammenfallen, aber von E 3 verschieden sind, c) in Abb. 10.1 e alle drei Ebenen zusammenfallen? lösung: a) E 1 ° E 2 ° E 3 = g (Schnittgerade von E 1 und E 3 ) b) E 1 ° E 2 ° E 3 = ¿ c) E 1 ° E 2 ° E 3 = E 1 = E 2 = E 3 Insgesamt ergibt sich aus Abb. 10.1 a b c d e und der letzten Aufgabe: satz: Der Durchschnitt dreier ebenen in ​ R​ 3 ​ ist leer , ein Punkt in ​ R ​ 3 ​ , eine gerade in ​ R ​ 3 ​ oder eine ebene in ​ R ​ 3 ​ . L E 1 S E 2 E 3 g E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3 E 1 E 2 E 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv