Mathematik verstehen 6, Schulbuch

192 10 geraden und eBenen im raum gegenseitige lage und schnitt zweier ebenen Für die gegenseitige Lage zweier Ebenen E 1 und E 2 im Raum gibt es folgende Möglichkeiten: e 1 und e 2 schneiden einander e 1 und e 2 sind parallel e 1 und e 2 sind parallel in einer geraden g : und verschieden : und fallen zusammen : e 1 ° e 2 = g e 1 ° e 2 = ¿ e 1 ° e 2 = e 1 = e 2 vorgangsweise zur Bestimmung der gegenseitigen lage zweier ebenen e 1 und e 2 Ermittle einen Normalvektor _ À n 1 von E 1 und einen Normalvektor _ À n 2 von E 2 Prüfe, ob _ À n 1 und _ À n 2 parallel sind! Ist _ À n 1 û _ À n 2 , so schneiden E 1 und E 2 einander in einer Geraden. Ist _ À n 1 u _ À n 2 , so sind die beiden Ebenen E 1 und E 2 zueinander parallel. Sind die Gleichungen von E 1 und E 2 keine vielfachen voneinander, dann sind E 1 und E 2 verschieden. Andernfalls fallen E 1 und E 2 zusammen. 10 . 27 Ermittle die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen E 1 und E 2 ! 1) E 1 : x + 3y – 7z = 1 2) E 1 : x + 3y – 5z = 4 3) E 1 : x + 3y – 5z = 4 E 2 : x + 3y – 15z = –7 E 2 : 3x + 9y – 15z = 4 E 2 : 3x + 9y – 15z = 12 lösung: 1) Die Normalvektoren _ À n 1 = (1 1 3 1 –7) und _ À n 2 = (1 1 3 1 –15) sind nicht parallel. Somit schneiden die beiden Ebenen einander in einer Geraden g und es ist E 1 ° E 2 = g. ermittlung von g: Die Gerade g besteht aus allen Punkten (x 1 y 1 z), deren Koordinaten beide Ebenengleichungen erfüllen, für die also gilt: { x + 3y – 7z = 1 x + 3y – 15z = – 7 Setzen wir etwa y = t (wobei t eine beliebige reelle Zahl ist), erhält man folgende Lösungen des Gleichungssystems: x = 8 – 3t, y = t, z = 1 (Rechne nach!) Damit ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der Schnittgeraden g: x = (x 1 y 1 z) = (8 – 3t 1 t 1 1) = (8 1 0 1 1) + t · (– 3 1 1 1 0) 2) Anhand der Normalvektoren (1 1 3 1 – 5) und (3 1 9 1 –15) erkennen wir, dass die beiden Ebenen parallel sind. Da die zweite Gleichung kein vielfaches der ersten ist, sind die beiden Ebenen parallel und verschieden. Es ist E 1 ° E 2 = ¿ . 3) Anhand der Normalvektoren (1 1 3 1 – 5) und (3 1 9 1 –15) erkennen wir, dass die beiden Ebenen parallel sind. Da die zweite Gleichung das Dreifache der ersten ist, fallen die beiden Ebenen zusammen. Es ist E 1 ° E 2 = E 1 = E 2 . auFgaBen 10 . 28 Ermittle die gegenseitige Lage und den Durchschnitt der Ebenen E 1 und E 2 ! a) E 1 : 2x – y – 3z = 1 b) E 1 : x + y – 3z = 1 c) E 1 : 3x + 5y – 8z = 3 E 2 : 2x – y – z = –7 E 2 : 2x + 2y – 6z = 2 E 2 : 6x + 10y – 16z = 3 L E 2 E 1 n 1 n 2 n 1 n 2 E 2 E 1 E 1 = E 2 n 1 n 2 Ó lernapplet z79z8m L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv