Mathematik verstehen 6, Schulbuch

191 10 . 4 gegensei t ige lagen von geraden und eBenen im raum 10 . 4 gegenseitige lagen von geraden und eBenen im raum gegenseitige lage und schnitt von gerade und ebene Eine Ebene E und eine Gerade g im Raum können folgende gegenseitige Lagen einnehmen: g schneidet e in einem g ist zu e parallel und liegt g ist zu e parallel und liegt Punkt s : e ° g = {s} nicht in e : e ° g = ¿ in e : e ° g = g Die gegenseitige Lage einer Ebene E und einer Geraden g kann man am leichtesten untersu- chen, wenn E durch eine Gleichung und g durch eine Parameterdarstellung gegeben ist. vorgangsweise zur Bestimmung der gegenseitigen lage einer ebene e und einer geraden g ƒƒ Ermittle einen Normalvektor ​ ​ _ À n​von E und einen Richtungsvektor ​ ​ _ À g​von g! ƒƒ Prüfe, ob ​ ​ _ À g​zu ​ ​ _ À n​normal ist! ƒ Ist ​ ​ _ À g​nicht normal zu ​ ​ _ À n​, so schneiden g und E einander in einem Punkt. ƒ ƒ ƒ Ist ​ ​ _ À g​normal zu ​ ​ _ À n​, so ist g parallel zu E. Ermittle einen beliebigen Punkt P auf g und prüfe, ob P in E liegt! – Ist P * E, so liegt die Gerade g in E. – Ist P + E, so liegt die Gerade g nicht in E. 10 . 25 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenenfalls den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g! E: 2x – y + 5z = –3, g = AB mit A = (0 1 2 1 7), B = (1 1 1 1 10) lösung: Parameterdarstellung von g: x = (0 1 2 1 7) + t · (1 1 –1 1 3) Richtungsvektor von g: ​ ​ _ À g​= (1 1 –1 1 3), Normalvektor von E: ​ ​ _ À n​= (2 1 –1 1 5) ​ ​ _ À g​· ​ ​ _ À n​= 1 · 2 + (–1) · (–1) + 3 · 5 = 18 ≠ 0 w ​ ​ _ À g​und ​ ​ _ À n​stehen nicht normal aufeinander. w E und g schneiden einander in einem Punkt S. ƒƒ Da S * g, gibt es ein t * R , so dass: S = (0 1 2 1 7) + t · (1 1 –1 1 3) = (t 1 2 – t 1 7 + 3t) ƒƒ Da S * E, erfüllt S die Ebenengleichung: 2t – (2 – t) + 5 (7 + 3t) = – 3 É t = – 2 Durch Einsetzen von t = –2 in die Gleichung S = (t 1 2 – t 1 7 + 3t) erhalten wir: S = (–2 1 4 1 1) auFgaBen 10 . 26 Ermittle die gegenseitige Lage und gegebenfalls den Schnittpunkt der Ebene E und der Geraden g! a) E: x + y – z = 1, g = {x * R 3 ‡ x = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 3 1 2) ? t * R} b) E: x – 2y + z = 1, g = {x * R 3 ‡ x = (3 1 –1 1 2) + t · (1 1 – 2 1 1) ? t * R} c) E: x + y + z = –11, g = {x * R 3 ‡ x = (0 1 1 1 0) + t · (5 1 – 2 1 1) ? t * R} d) E: 2x + 5y – z = 1, g = {x * R 3 ‡ x = (1 1 1 1 1) + t · (1 1 2 1 12) ? t * R} e) E: 3x + 5y + 4z = 25, g = {x * R 3 ‡ x = (1 1 2 1 3) + t · (–1 1 –1 1 2) ? t * R} f) E: 3x – 5y – 4z = 25, g = {x * R 3 ‡ x = t · (–1 1 –1 1 2) ? t * R} L S g E n g g E n g E n g Ó lernapplet 2t8ya2 L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum de Verlags öbv