Mathematik verstehen 6, Schulbuch

190 10 geraden und eBenen im raum auFgaBen 10 .16 Ermittle einen Normalvektor und drei Punkte der Ebene mit der folgenden Gleichung! a) 2x – 3y + z = –8 c) 3x + 5y – 4z = 10 e) x – y + z = 0 b) x – 5y + 7z = 1 d) 2x – 3y + 4z = 4 f) 2x – y + 5z = –1 10 .17 Stelle eine Gleichung der Ebene E auf, die den Punkt P enthält und _ À nals Normalvektor hat! Gib einen Punkt an, der in E liegt, und einen Punkt, der nicht in E liegt! a) P = (1 1 1 1 –1), _ À n= (2 1 3 1 7) c) P = (– 6 1 0 1 2), _ À n= (1 1 0 1 1) e) P = (1 1 0 1 6), _ À n= (3 1 3 1 –1) b) P = (5 1 – 8 1 1), _ À n= (5 1 3 1 3) d) P = (1 1 1 1 3), _ À n= (4 1 – 4 1 – 5) f) P = (–4 1 4 1 8), _ À n= (–9 1 0 1 –4) 10 .18 Ermittle eine Gleichung der Ebene E durch den Punkt P, die normal zur Geraden g ist! a) P = (– 2 1 3 1 4), g: x = (3 1 1 1 0) + t · (1 1 1 1 1) c) P = (3 1 3 1 3), g: x = (1 1 1 1 4) + t · (0 1 0 1 1) b) P = (4 1 4 1 –1), g: x = (2 1 2 1 1) + t · (–1 1 2 1 2) d) P = (5 1 – 6 1 0), g: x = (2 1 0 1 1) + t · (3 1 4 1 –1) 10 .19 a) Gib eine Parameterdarstellung der Ebene E: x + y + z = 3 an! b) Gib eine Gleichung der Ebene E: x = (1 1 1 1 1) + u · (2 1 1 1 0) + v · (0 1 1 1 1) an! lösung: a) Wir ermitteln zuerst einen Punkt P und einen Normalvektor _ À nvon E: P = (1 1 1 1 1), _ À n= (1 1 1 1 1) Als nächstes suchen wir zwei beliebige Richtungsvektoren für E. Diese müssen von _ À o verschieden und normal zu _ À nsein. Rechne nach, dass beispielsweise _ À a= (1 1 0 1 –1) und _ À b= (0 1 1 1 –1) in Frage kommen. E: x = (1 1 1 1 1) + u · (1 1 0 1 –1) + v · (0 1 1 1 –1) b) Wir ermitteln einen Punkt P und einen Normalvektor _ À nvon E: P = (1 1 1 1 1), _ À n= 2 2 1 0 3 × 2 0 1 1 3 = 2 1 – 2 2 3 E: 2 1 – 2 2 3 · 2 x y z 3 = 2 1 – 2 2 3 · 2 1 1 1 3 E: x – 2y + 2z = 1 10 . 20 Ermittle eine Parameterdarstellung der Ebene E mit folgender Gleichung! a) x + 6y – z = 2 b) 2x – y + 2z = 8 c) x – y – z = 10 d) 4x – y + 3z = 0 10 . 21 Ermittle eine Gleichung der Ebene E mit folgender Parameterdarstellung! a) x = (5 1 3 1 – 4) + u · (2 1 3 1 – 4) + v · (5 1 3 1 0) b) x = (1 1 0 1 – 4) + u · (9 1 3 1 4) + v · (3 1 – 3 1 9) 10 . 22 Ermittle eine Gleichung der Ebene E’, die zur Ebene E parallel ist und durch P geht! a) E: x – 3y + z = 5, P = (5 1 6 1 1) b) E: 2x + 5y – 4z = 2, P = (1 1 1 1 8) 10 . 23 Berechne die Durchstoßpunkte D x , D y , D z der Koordinatenachsen mit der Ebene E und skizziere die Lage der Ebene mithilfe des Dreiecks D x D y D z ! a) E: 2x + y + 5z = 10 b) E: x + y + z = 4 10 . 24 Ermittle eine Gleichung der Ebene E, die durch den Punkt P = (0 1 0 1 2) geht und zur xy-Ebene parallel ist! L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv