Mathematik verstehen 6, Schulbuch

19 1 . 4 Potenzen mi t eXponenten aus ℚ 1 . 4 Potenzen mit eXponenten aus ℚ Definition von Potenzen mit rationalen exponenten Für den weiteren Aufbau der Mathematik erweist es sich als zweckmäßig, Potenzen mit rationa- len Hochzahlen einzuführen und zwar so, dass die bisherigen Potenzregeln weiterhin gelten. Be- trachten wir zum Beispiel die Regel: Eine Potenz wird potenziert, indem man die Hochzahlen miteinander multipliziert und die Basis unverändert lässt. Wenn diese Regel auch für rationale Hochzahlen gelten soll, erhält man 2 a m _ n 3 n = a m _ n · n = a m . Daraus folgt nach der Definition der n-ten Wurzel a m _ n = n 9 __ a m . Daraus schließen wir: Soll die genannte Regel auch für rationale Hochzahlen gelten, so muss man definieren: a m _ n = n 9 __ a m Definition Für alle a * ℝ 0 + , m * ℤ und n * ℕ * setzt man: a m _ n = n 9 __ a m (sofern a und m nicht beide 0 sind) Bemerkungen: Eine Bruchzahl kann auf unendlich viele Arten durch einen Bruch dargestellt werden, zB: 1 _ 2 = 2 _ 4 = 3 _ 6 = 4 _ 8 = … (wobei alle diese Brüche durch Erweitern aus einem Ausgangsbruch hervorgehen). Damit die obige Definition von a m _ n sinnvoll ist, müssen wir zeigen, dass a 1 _ 2 = a 2 _ 4 = a 3 _ 6 = … ist, also stets a km _ kn = a m _ n (für k ≠ 0) gilt. Dies ist aber der Fall, denn a km _ kn = kn 9 __ a km = n 9 __ a m = a m _ n . Für n = 1 geht die Definition a m _ n = n 9 __ a m über in a m _ 1 = 1 9 __ a m = a m . Potenzen mit rationalen Exponenten sind also eine verallgemeinerung von Potenzen mit ganzen Exponenten. Aufgaben 1 . 87 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) 3 9 _ 2 b) 3 9 __ 2 7 c) 4 9 __ 3 3 d) 3 9 __ 5 2 e) n 9 __ 2 5 f) k 9 __ 2 7 1 . 88 Schreibe als Potenz mit rationaler Hochzahl an! a) 9 __ a –1 b) 1 _ 3 9 __ x – 2 c) n 9 __ b – 3 d) n 9 __ y 0,5 e) 1 _ 9 _ u f) 1 _ 5 9 __ a 10 1 . 89 Schreibe als Wurzel an! a) a 1 _ 2 b) x 3 _ 4 c) y – 0,5 d) u – 2 _ 3 e) (3v) – 2 _ 5 f) x 1,25 rechenregeln für Potenzen mit rationalen exponenten Die bisherigen Potenzregeln gelten weiterhin. Beweise findet man im Anhang auf Seite 283. Satz (rechenregeln für Potenzen mit rationalen exponenten) Für alle a, b * ℝ + und alle r, s * ℚ gilt: (1) a r · a s = a r + s (2) a r _ a s = a r – s (3) (a r ) s = a r · s (4) (a · b) r = a r · b r (5) 2 a _ b 3 r = a r _ b r R R R Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv