Mathematik verstehen 6, Schulbuch

189 10 . 3 Normalvektordarstellung einer eBene im raum 10 . 3 Normalvektordarstellung einer eBene im raum Normalvektordarstellung (gleichung) einer ebene Wir betrachten eine Ebene E, die durch einen Punkt P und einen Normalvektor _ À n * ℝ 3 gegeben ist. Für jeden von P verschiedenen Punkt x * ℝ 3 gilt: x * E É _ À n © _ À Px É _ À n· _ À Px= 0 É _ À n· (x – P) = 0 É _ À n· x = _ À n· P Die Äquivalenz x * E É _ À n· x = _ À n· P gilt aber auch für x = P, da in diesem Fall beide Aussagen wahr sind. Für _ À n= (n 1 1 n 2 1 n 3 ), x = (x 1 y 1 z) und P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) geht die Gleichung _ À n· x = _ À n· P über in: ( n 1 n 2 n 3 ) · ( x y z ) = ( n 1 n 2 n 3 ) · ( p 1 p 2 p 3 ) bzw. n 1 x + n 2 y + n 3 z = n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 Setzt man zur Abkürzung noch n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 = c, erhalten wir: n 1 x + n 2 y + n 3 z = c. Wir haben somit bewiesen: satz: Ist E eine Ebene im Raum durch den Punkt P = (p 1 1 p 2 1 p 3 ) und _ À n≠ _ À oein Normalvektor von E, dann gilt für alle x * ℝ 3 : X * e É _ À n· X = _ À n· P bzw. (x 1 y 1 z) * e É n 1 x + n 2 y + n 3 z = c mit c = n 1 p 1 + n 2 p 2 + n 3 p 3 Definition: Die Gleichung _ À n· X = _ À n· P bzw. n 1 x + n 2 y + n 3 z = c nennt man eine Normalvektordarstellung (oder kurz gleichung ) der ebene e. Die Ebene E kann so dargestellt werden: e = {X * R 3 ‡ _ À n· X = _ À n· P} = {(x 1 y 1 z) * R 3 ‡ n 1 x + n 2 y + n 3 z = c} 10 .15 Ermittle eine Gleichung der Ebene durch den Punkt P = (3 1 1 1 –2) mit dem Normalvektor _ À n= (1 1 2 1 – 3)! lösung: _ À n· x = _ À n· P É ( 1 2 – 3 ) · ( x y z ) = ( 1 2 – 3 ) · ( 3 1 – 2 ) É x + 2y – 3z = 1 · 3 + 2 · 1 + (– 3) · (– 2) É É x + 2y – 3z = 11 Jede Ebene mit dem Normalvektor _ À n= (n 1 1 n 2 1 n 3 ) kann durch eine Gleichung der Form n 1 x + n 2 y + n 3 z = c dargestellt werden. Umgekehrt stellt jede solche Gleichung eine Ebene mit dem Normalvektor _ À n= (n 1 1 n 2 1 n 3 ) dar (sofern n 1 , n 2 , n 3 nicht alle gleich 0 sind). Ein Normalvektor kann somit unmittelbar aus der Gleichung abgelesen werden. Beispiel : D ie Ebene E: 4x – 3y + z = 7 besitzt den Normalvektor _ À n= (4 1 – 3 1 1). Insgesamt kennen wir nun zwei Darstellungen für Ebenen in ℝ 3 : Parameterdarstellung einer ebene: Normalvektordarstellung (gleichung) einer ebene: X = P + u · _ À a+ v · _ À b _ À n· X = _ À n· P bzw. n 1 x + n 2 y + n 3 z = c Beachte : Eine lineare Gleichung in x, y stellt eine Gerade in R 2 dar. Eine lineare Gleichung in x, y, z stellt aber nicht eine Gerade in R 3 , sondern eine Ebene in R 3 dar. Eine Gerade in R 3 kann man nur durch eine Parameterdarstellung oder als Schnitt zweier Ebenen darstellen. L Ó applet 9af84f n E P x n E P x kompakt seite 199 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv