Mathematik verstehen 6, Schulbuch

188 10 geraden und eBenen im raum Allgemein gilt: satz Ist E eine Ebene im Raum, P ein Punkt in E und sind _ À a, _ À b * R 3 zwei nicht parallele Richtungs- vektoren von E, dann gilt für alle Punkte x * R 3 : x * E É Es gibt u, v * R , sodass x = P + u · _ À a+ v · _ À b. Definition: Die vektorgleichung x = P + u · _ À a+ v · _ À bnennt man eine Parameterdarstellung der ebene e mit den Parametern u und v . Jedem Parameterpaar (u 1 v) entspricht genau ein Punkt x in der Ebene E. Umgekehrt entspricht jedem Punkt x der Ebene E genau ein Parameterpaar (u 1 v). Eine Ebene E im Raum kann durch die folgende Punktmenge beschrieben werden: e = {X * R 3 ‡ X = P + u · _ À a+ v · _ À b ? u, v * R} Wir bezeichnen diese Punktmenge kurz als eine ebene in R 3 . Wird diese durch die Punkte P, Q und R festgelegt, so bezeichnen wir sie mit PQr . Beachte : Im Gegensatz zur Parameterdarstellung einer Geraden benötigt man für eine Parameter- darstellung einer Ebene zwei Parameter. Anstelle der Richtungsvektoren _ À aund _ À bkann man auch vielfache dieser vektoren verwenden, wodurch sich oft eine einfachere Parameterdarstellung ergibt. auFgaBen 10 . 09 Ein Tisch mit vier Füßen kann wackeln, einer mit drei Füßen nicht. Woran liegt das? 10 .10 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene durch die Punkte P, Q und R an! a) P = (– 2 1 4 1 – 3), Q = (3 1 0 1 1), R = (2 1 – 4 1 – 6) c) P = (0 1 5 1 0), Q = (2 1 4 1 – 8), R = (3 1 –7 1 0) b) P = (0 1 3 1 1), Q = (– 2 1 5 1 7), R = (4 1 4 1 – 9) d) P = (2 1 3 1 0), Q = (0 1 0 1 0), R = (– 2 1 – 4 1 5) 10 .11 Untersuche, ob der Punkt x in der durch die Punkte P, Q und R bestimmten Ebene liegt! a) x = (4 1 6 1 – 3), P = (2 1 0 1 5), Q = (3 1 3 1 1), R = (2 1 4 1 5) b) x = (1 1 1 1 1), P = (3 1 3 1 1), Q = (2 1 4 1 7), R = (3 1 0 1 9) c) x = (5 1 2 1 – 9), P = (0 1 0 1 0), Q = (2 1 – 5 1 –1), R = (3 1 7 1 – 8) d) x = (0 1 0 1 0), P = (2 1 2 1 – 2), Q = (– 3 1 8 1 4), R = (2 1 –7 1 9) 10 .12 Gib drei Punkte an, die die folgende Ebene festlegen! a) E = {x * R 3 ‡ x = (1 1 0 1 – 4) + u · (2 1 3 1 – 4) + v · (3 1 – 3 1 9) ? u, v * R} b) E = {x * R 3 ‡ x = (4 1 – 5 1 6) + u · (6 1 2 1 5) + v · (3 1 – 8 1 0) ? u, v * R} 10 .13 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die die einander schneidenden Geraden g und h enthält! a) g = {x * R 3 ‡ x = (2 1 3 1 0) + s · (1 1 1 1 –1) ? s * R} , h = {x * R 3 ‡ x = (2 1 3 1 0) + t · (1 1 8 1 2) ? t * R} b) g = {x * R 3 ‡ x = (4 1 2 1 –1) + s · (1 1 –3 1 0) ? s * R} , h = {x * R 3 ‡ x = (4 1 2 1 –1) + t · (3 1 5 1 7) ? t * R} 10 .14 Gib eine Parameterdarstellung der Ebene an, die den Punkt P und die Gerade g enthält! a) P = (0 1 2 1 3), g = {x * R 3 ‡ x = (2 1 3 1 0) + t · (1 1 1 1 –1) ? t * R} b) P = (0 1 0 1 0), g = {x * R 3 ‡ x = (4 1 2 1 –1) + t · (1 1 – 3 1 0) ? t * R} L Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv