Mathematik verstehen 6, Schulbuch

187 10 . 2 Parameterdarstellung einer eBene im raum 10 . 2 Parameterdarstellung einer eBene im raum Wodurch kann eine ebene im raum festgelegt werden? Eine Ebene im Raum kann man auf verschiedene Arten festlegen. Zum Beispiel: durch drei Punkte, die nicht durch zwei verschiedene ein- durch zwei verschiedene, auf einer Geraden liegen: ander schneidende Geraden: parallele Geraden: durch eine Gerade und durch einen Punkt und durch einen Punkt und einen Punkt, der nicht zwei nicht parallele einen Normalvektor: auf der Geraden liegt: Richtungsvektoren: Richtungsvektoren und Normalvektoren sind dabei folgendermaßen definiert: Definition 1) Ein vektor _ À a= _ À PQ * ℝ 3 heißt richtungsvektor einer ebene e , wenn P und Q zwei verschiedene Punkte der Ebene E sind. 2) Ein vom Nullvektor verschiedener vektor _ À n * ℝ 3 heißt Normalvektor einer ebene e , wenn _ À nnormal zu allen Richtungsvektoren der Ebene E ist. Parameterdarstellung einer ebene 10 . 08 Eine Ebene E geht durch die Punkte P = (5 1 –7 1 2), Q = (9 1 –1 1 –1) und R = (3 1 – 4 1 2). Gib zwei weitere Punkte in dieser Ebene an! lösung: Wir berechnen zuerst zwei Richtungsvektoren: _ À a= _ À PQ= (4 1 6 1 – 3) und _ À b= _ À PR= (– 2 1 3 1 0) Der Abbildung entnimmt man: Ein Punkt x liegt genau dann in der Ebene E, wenn es reelle Zahlen u und v gibt, sodass: x = P + u · _ À a+ v · _ À b= 2 5 –7 2 3 + u · 2 4 6 – 3 3 + v · 2 – 2 3 0 3 Setzt man für u und v reelle Zahlen ein, erhält man Punkte in der Ebene E. Zum Beispiel: für u = 2, v = 3 : S = 2 5 –7 2 3 + 2 · 2 4 6 – 3 3 + 3 · 2 – 2 3 0 3 = 2 7 14 – 4 3 für u = –1, v = 4 : T = 2 5 –7 2 3 – 1 · 2 4 6 – 3 3 + 4 · 2 – 2 3 0 3 = 2 –7 –1 5 3 L P R Q g h g h P g P b a n E P P Q a E n E P L E R x Q u·a P v·b b a Nur zu Prüfzwecken – Eigen um des Verlags öbv